Prvočísla/8191

8191 je prvočíslo. Z hlediska délky periody převrácené hodnoty má relativně dosti výjimečné vlastnosti: je unikátním prvočíslem (v číselné soustavě o základu 91 o délce period převrácené hodnoty l = 6 a také jedním z jediných dvou repunitovým prvočíslem s délkou > 2, vyskytujícím se zároveň ve dvou nemocninových číselných soustavách: ve dvojkové soustavě (l = 13 a zároveň v devadesátkové soustavě (l = 3); (dalším je prvočíslo 31). Z tohoto důvodu tomuto prvočíslu věnuji větší pozornost.

Prvočíselný (nejen) rozklad kořene

Kořen tohoto prvočísla k = 8190. Prvočíselné w:faktory tohoto kořene jsou: 2, 3, 3, 5, 7 a 13. Zároveň je tento kořen součinem dvou po sobě jdoucích čísel a to 90 a 91, což je typická vlastnost repunitů o délce 3, zmenšených o 1. Zároveň je tento kořen roven 2^13 - 2, což je opět typická vlastnost kořenů Mersenových prvočísel. Z rozboru prvočíselného rozkladu kořene vyplývá, že v různých soustavách se mohou vyskytovat tyto délky period převrácené hodnoty tohoto prvočísla: 0 (pro z = 8191 + n*8191), 1 (pro z = 8192 + n*8191 - dále již následující možnosti "+ n*8191" nebudu uvádět, jsou samozřejmé), 2 (pro z = 8190), 3 (pro z = 90 a pro z = 8100), ...další v tabulce (celkový počet* je míněno menších z než 8193 a větších, než 1):

Tabulka délek p.h. (l)
l	z	celkový počet*
0	8191	1
1	8192	1
2	8190	1
3	90, 8100	2
5	1904, 3002, 4794, 6681	4
6	91, 8101	2
7	1378, 3085, 6247, 6763, 7474, 7816	6
9	1477, 1874, 2723, 4840, 6128, 7531	6
10	1510, 3397, 5189, 6287	4
13	2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096	12
14	375, 717, 1428, 1944, 5106, 6813	6
15	3347, 5312, 5528, 6060, 6354, 6938, 7540, 8068	8
18	660, 2063, 3351, 5468, 6317, 6714	6
21	998, 1155, 1361, 2536, 4893, 5242, 5658, 5950, 7083, 7205, 7347, 7910	12
26	4095, 6143, 7167, 7679, 7926, 8063, 8127, 8159, 8175, 8183, 8187, 8189	12
30	123, 651, 1253, 1837, 2131, 2663, 2879, 4844	8
35	301, 500, 893, 956, 1071, 1458, 1799, 1822, 1844, 2047, 2329, 2592, 2729, 2922, 3062, 4186, 4270, 4295, 4608, 4735, 5228, 5340, 6808, 7925	24
39	45, 180, 360, 720, 1277, 1440, 2025, 2059, 2367, 2554, 2880, 3329, 4050, 4118, 4734, 5108, 5125, ...	24
42	281, 844, 986, 1108, 2241, 2533, 2949, 3298, 5655, 6830, 7036, 7193	12
45	152, 485, 902, 2550, 2623, 2695, 3714, 3728, 4346, 4706, 4774, 5011, 5489, 5799, ...	24
63	52, 515, 816, 1676, 1684, 1770, 1939, 2046, 2207, 2281, 2349, 2385, 2499, 2704, 2750, 3133, 3402, 3459, ...	36
65	119, 238, 413, 476, 826, 952, 1397, 1501, 1652, 1859, 2151, 2397, 2423, 2647, 2794, 2985, 3304, 3591, 3718, ...	48
70	266, 1383, 2851, 2963, 3456, 3583, 3896, 3921, 4005, 5129, 5269, 5462, 5599, 5862, 6144, 6347, 6369, 6392, 6733, 7120, 7235, 7298, 7691, 7890	24
78	182, 364, 728, 1456, 1533, 2431, 2912, 3066, 3083, 3457, 4073, 4141, 4862, 5311, 5637, 5824, 6132, 6166, 6751, 6914, ...	24
90	172, 311, 730, 1154, 1469, 1571, 2028, 2143, 2314, 2318, 2392, 2702, 3180, 3417, 3485, ...	24
91	107, 214, 415, 428, 555, 573, 689, 830, 830, 856, 977, 1110, 1146, 1491, 1629, 1660, 1712, 1725, 1954, 1987, ...	72
105	111, 160, 164, 218, 633, 647, 831, 868, 1027, 1573, 1667, 2116, 2140, 2323, 2517, 2988, 3105, 3238, 3633, 3646, ...	48
117	383, 605, 663, 766, 853, 937, 1141, 1210, 1326, 1489, 1532, 1706, 2199, 22282, 2333, 2417, 2420, 2613, 2631, ...	72
126	279, 334, 537, 793, 1556, 1858, 2126, 2370, 2796, 2933, 2947, 3118, 3400, 3511, 4069, 4253, 4438, 4520, 4732, ...	36
130	557, 575, 693, 721, 755, 1009, 1114, 1150, 1386, 1442, 1583, 2018, 2187, 2221, 2228, 2300, 2603, 2772, , ...	48
182	243, 357, 486, 714, 750, 972, 1291, 1343, 1500, 1551, 1675, 1909, 2021, 2137, 2227, 2525, 2553, 2582, 2679, 2686, ...	72
195	83, 166, 319, 332, 621, 638, 664, 691, 843, 859, 1242, 1276, 1328, 1382, 1421, 1515, 1541, 1579, 1686, 1718, 1745, ...	96
210	46, 120, 148, 367, 670, 677, 1540, 1587, 1605, 1622, 1902, 1910, 1982, 2609, ...	48
234	61, 122, 165, 244, 330, 488, 695, 749, 941, 976, 1285, 1320, 1367, 1390, ...	72
273	201, 303, 317, 402, 427, 499, 597, 606, 634, 804, 854, 947, 981, 1049, 1194, 1212, 1268, 1439, 1505, 1567, 1595, 1608, ...	144
315	127, 129, 145, 210, 259, 286, 337, 355, 372, 459, 475, 490, 495, 523, 566, 716, 761, 771, 836, 880, 883, 907, 940, 1004, 1142, ...	144
390	246, 333, 492, 666, 709, 984, 1211, 1302, 1319, 1332, 1418, 1447, 1497, 1653, 1669, 1833, 1875, 1968, 2027, 2225, 2361, ...	96
455	9, 18, 36, 72, 81, 125, 144, 162, 181, 231, 239, 250, 288, 324, 349, 362, 377, 399, 461, 462, 478, 517, 576, 602, 648, 698, ...	288
546	163, 207, 211, 277, 326, 343, 379, 414, 422, 493, 554, 562, 615, 652, 673, 686, 857, 773, 801, 828, 1059, 1124, 1230, 1304, ...	144
585	19, 38, 76, 79, 157, 158, 189, 233, 304, 314, 316, 361, 378, 391, 451, 466, 469, 501, 608, 628, 632, 659, 722, 756, 782, 855, ...	288
630	39, 114, 253, 280, 287, 496, 612, 614, 627, 705, 753, 767, 814, 863, 875, 946, 958, 1018, 1028, ...	144
819	13, 26, 49, 51, 53, 98, 102, 104, 106, 169, 196, 204, 208, 212, 219, 331, 338, 392, 408, 416, 419, 421, 423, 424, 438, 585, 629, ...	432
910	3, 6, 12, 24, 27, 48, 54, 77, 96, 108, 133, 154, 185, 191, 192, 216, 308, 321, 370, 382, 384, 432, 445, 455, 487, 497, 532, 543, ...	288
1170	43, 86, 87, 137, 155, 174, 175, 274, 299, 310, 329, 344, 348, 350, 365, 381, 431, 457, 507, 548, 563, 577, 598, 620, 622, 658, ...	288
1365	5, 10, 20, 25, 40, 41, 50, 69, 80, 82, 100, 109, 138, 200, 205, 217, 222, 223, 225, 263, 267, 273, 276, 320, 328, 345, 353, 369, 400, ...	576
1638	7, 14, 28, 56, 112, 167, 187, 213, 215, 224, 285, 293, 313, 315, 323, 371, 374, 389, 401, 425, 426, 430, 435, 448, 558, 565, 570, ...	432
2730	15, 23, 30, 37, 60, 67, 74, 75, 89, 92, 101, 115, 134, 135, 150, 151, 178, 184, 199, 202, 230, 240, 249, 268, 270, 296, 300, 302, 327, ...	576
4095	11, 21, 22, 29, 42, 44, 47, 55, 58, 65, 71, 84, 88, 93, 94, 95, 97, 99, 103, 105, 110, 116, 117, 121, 130, 131, 142, 143, 149, 161, ...	1728
8190	17, 31, 33, 34, 35, 57, 59, 62, 63, 66, 68, 70, 73, 78, 85, 113, 118, 124, 126, 132, 136, 139, 140, 141, 146, 147, 153, 156, 159, ...	1728

Délky p.h. podle soustav

Tabulka délek p.h. (l) podle soustav
z	zápis p 8191 v dané soustavě	délka p.h. (l)
2	1111111111111	13
3	102020101	910
4	1333333	13
5	230231	1365
6	101531	910
7	32611	1638
8	17777	13
9	12211	455
10	8191	1365
11 (χ)	6177	4095
12	48A7	910
13	3961	819
14	2DB1	1638
15	2661	2730
16	1FFF	13
17	1B5E	8190 (max.)
18	1751 (01:07:05:01)	455
19	01:03:13:02	585
20	01:00:09:11	1365
21	18:12:01	4095
22	16:20:07	4095
23	15:11:03	2730
24	14:05:07	910
25	13:02:16	1365
26	12:03:01	819
27	11:06:10	910
28	10:12:15	1638
29	09:21:13	4095
30	09:03:01	2730
31	08:16:07	8190
32	07:31:31	13
33	07:17:07	8190
34	07:02:31	8190
35	06:24:01	8190
36	06:11:19	455
37	05:36:14	2730
38	05:25:21	585
39	05:15:01	630
40	05:04:31	1365
41	04:35:32	1365
42	04:27:01	4095
43	04:18:21	1170
44	04:10:07	4095
45	04:02:01	39
46	03:40:03	210
47	03:33:13	4095
48	03:26:31	910
49	03:20:08	819
50	03:13:41	1365
51	03:07:31	819
52	03:01:27	63
53	02:48:29	819
54	02:43:37	910
55	02:38:51	4095
56	02:34:15	1638
57	02:29:40	8190
58	02:25:13	4095
59	02:20:49	8190
60	02:16:31	2730
61	02:12:17	234
62	02:08:07	8190
63	02:04:01	8190
64	01:63:63	13
65	01:61:01	4095
66	01:58:07	8190
67	01:55:17	2730
68	01:52:31	8190
69	01:49:49	1365
70	01:47:01	8190
71	01:44:26	4095
72	01:41:55	455
73	01:39:15	8190
74	01:36:51	2730
75	01:34:16	2730
76	01:31:59	585
77	01:29:29	910
78	01:27:01	8190
79	01:24:54	585
80	01:22:31	1365
81	01:20:10	455
82	01:17:73	1365
83	01:15:57	195
84	01:13:43	4095
85	01:11:31	8190
86	01:09:21	1170
87	01:07:13	1170
88	01:05:07	4095
89	01:03:03	2730
90	01:01:01	3
91	90:01	6
92	89:03	2730
93	88:07	4095
94	87:13	4095
95	86:21	4095
96	85:31	910
97	84:43	4095
98	83:57	819
99	82:73	4095
100	81:91	1365
101	081:010	2730
102	080:031	819
103	079:054	4095
104	078:079	819
105	078:001	4095
106	077:029	819
107	076:059	91
108	075:091	910
109	075:016	1365
110	074:051	4095
111	073:088	105
112	073:015	1638
113	072:055	8190
114	071:097	630
115	071:026	2730
116	070:071	4095
117	070:001	4095
118	069:049	8190
119	068:099	65
120	068:031	210
121	067:084	4095
122	067:017	234
123	066:073	30
124	066:007	8190
125	065:066	455
126	065:001	8190
127	064:063	315
128	063:127	13
129	063:064	315
...	...	...