Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: 111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
    1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
    2. V soustavách o základu 3n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 3 (viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3).
    3. Kromě trojky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 3) vyhovují vzorci 6n + 1 (p).
    4. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
    5. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci p - za - 1.
  3. Faktory nebo repunitová prvočísla o délce R = 3z a jsou zároveň kofaktory repunitu o délce R = 6 v následující (za + 1) soustavě, kde mají tvar g1 (g = z - 1). Toto pravidlo paltí pouze pro repunity R = 3 : R = 6 (t.j. neplatí pro repunity R = p : R = 2p pro p>3).
  4. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 3)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/6)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších repunitových p 111(z) (R = 3)
p 7 13 31 43 73 157 211 241 307 421 463 601 757 1123 1483 1723 2551 2971 3307 3541 3907 4423 4831 5113 5701 6007
z 2 3 5 6 8 12 14 15 17 20 21 24 27 33 38 41 50 54 57 59 62 66 69 71 75 77
f k/6 1 2 5 7 2^2∙3 2∙13 5∙7 2^3∙5 3∙17 2∙5∙7 7∙11 2^2∙5^2 2∙3^2∙7 11∙17 13∙19 7∙41 5^2∙17 3^2∙5∙11 19∙29 2∙5∙59 3∙7∙31 11∙67 5∙7∙23 2^2∙3∙71 2∙5^2∙19 7∙11∙13
l.p.(10) 6 6 15 21 8 78 30 30 153 140 154 300 27 561 247 287 425 2970 1653 20 1953 4422 805 1704 5700 858
χ 2* 2 7* 9* 5 5 4* 7 7* 2 2* 7 2 4* 4* 6* 2* 5* 4* 7 4* 7* 2* 19 6 9
Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111(z) (R = 3)
p 6163 6481 8011 8191 9901 10303 11131 12211 12433 13807 14281 17293 19183 20023 20593 21757 22651 23563 24181
z 78 80 89 90* 99 101 105 110 111 117 119 131 138 141 143 147 150 153 155
f k/6 13∙79 2^3∙3^3∙5 3∙5∙89 3∙5∙7∙13 2∙3∙5^2∙11 17∙101 5∙7∙53 5∙11∙37 2^3∙7∙37 3∙13∙59 2^2∙5∙7∙17 2∙11∙131 23∙139 47∙71 2^3∙3∙11∙13 2∙7^2∙37 5^2∙151 3∙7∙11∙17 2∙5∙13∙31
l.p.(10) 79 270 2670 1365 12 3434 11130 4070 4144 13806 1190 1441 6394 6674 1872 10878 1510 11781 4836
Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111(z) (R = 3)
p 26083 26407 27061 28057 28393 30103 31153 35533 35911 37057 37831 41413 42643 43891 46441 47743
z 161 162 164 167 168 173 176 188 189 192 194 203 206 209 215 218
f k/6 3^3∙7∙23 3^3∙163 2∙5∙11∙41 2^2∙7∙167 2^2∙7∙13^2 29∙173 2^3∙11∙59 2∙3^2∙7∙47 3^2∙5∙7∙19 2^5∙193 5∙13∙97 2∙7∙17∙29 3∙23∙103 5∙7∙11∙19 2^2∙3^2∙5∙43 73∙109
l.p.(10) 1449 26406 27060 28056 1352 30102 31152 2961 5985 37056 18915 609 42642 14630 1161 15914
Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111(z) (R = 3)
p 53593 55933 60271 60763 71023 74257 77563 78121 82657 83233 84391 86143 95791 98911 108571 110557
z 231 236 245 246 266 272 278 279 287 288 290 293 309 314 329 331
f k/6 2^2∙7∙11∙29 2∙59∙79 5∙7^2∙41 13∙19∙41 7∙19∙89 2^3∙7∙13∙17 3∙31∙139 2^2∙3∙5∙7∙31 2^4∙3∙7∙41 2^4∙3∙17^2 5∙29∙97 7^2∙293 5∙31∙103 3∙5∙7∙157 5∙7∙11∙47 2∙3∙37∙83
l.p.(10) 17864 27966 6027 30381 10146 74256 12927 4340 82656 27744 28130 1758 15965 49455 36190 27639

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

SledujteEditovat