Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 13

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 13: 1111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
    1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
    2. V soustavách o základu 13n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 13.
    3. Kromě třináctky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 13) vyhovují vzorci 26n + 1 (p).
    4. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
    5. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 12; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně dvanáct (protože 13 - 1 = 12) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 13.
    6. Ve dvanácti soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 26 (11111111111111111111111111).
  3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 13)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/26 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/26)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších repunitových p 1111111111111(z) (R = 13)
p 8191 797161 305175781 16148168401 6765811783780036261 40911050578149780601 1809873235795386729241 19681767848550770169481 481037737554191584824331 792806586866086631668831
z 2* 3 5 7 37 43 59 72 94 98
f k/26 3^2∙5∙7 2^2∙3∙5∙7∙73 2∙3^2∙5∙7∙
∙31∙601
2^3∙3∙5^2∙7∙
∙19∙43∙181
2∙3∙5∙7∙19∙31∙37∙43∙
∙67∙137∙144061
2^2∙3∙5^2∙11∙37∙43∙139∙
∙631∙3416953
2^2∙3^2∙5∙7∙59∙163∙
∙1741∙3541∙931837
2^2∙3^2∙5∙7∙17∙61∙73∙
∙337∙751∙5113∙6133
3∙5∙7∙19∙47∙229∙1249∙
∙8837∙78066061
3^3∙5∙7^2∙11∙17∙31∙113∙
∙313∙853∙3169∙8317

8191: l.p. = 1365; 797161: l.p. = 199290 v desítkové soustavě.

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

SledujteEditovat