Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 7

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 7: 1111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunitová prvočísla o délce 7 (1111111) jsou popsána v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 7. Avšak v soustavách z = 7n + 1 jsou repunity 1111111 vždy součinem 7 * hijklm (neboli typ 123457), kde h je (z - 1)/7, i = 2h, j = 3h, k = 4h, l = 5h a m = 6h + 1. Ne v každé soustavě je hijklm(z) prvočíslo, tak jako například v osmičkové soustavě (123457(8) = 42799(10) je součinem 127(10): * 337(10) = 177(8) * 521(8) (10(8) - 1)/7 = 1; 2*1 = 2; 3*1 = 3; 4*1 = 4; 5*1 = 5 a 6*1 + 1 = 7; v patnáctkové soustavě však: (10(15) - 1)/7 = 2; 2*2 = 4; 3*2 = 6; 4*2 = 8; 5*2 = A a 7*2 + 1 = E=2468AE(15) = 1743463(10) již prvočíslem je. Tudíž v osmičkové soustavě neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. l = 7.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Některé repunity 1111111 možná (?) mohou být i mocninou prvočísla, případně mohou být mocninou i sedminy takových repunitů (hijklm = pn). V tom případě patřičné odmocniny takových prvočísel by v dané soustavě byly unikátní prvočísla. O takových mi však zatím není známo a je možné, že ani (pro l = 7) neexistují.
  5. Pokud číslo hijklm(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 7, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  6. Prvočísla o délce p.h. l = 7 vždy vyhovují vzorci 14n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U7)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U7 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 7
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/10 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/14)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních p 1111111-n(z) nebo hijklm(z) (U7)
p(10) 1743463 16968421 88009573 2277696793 54519912973 430153757503 833266472053 31789348345861 51951626969131
z 15 22 29 50 85 120 134 246 267
f k/14 3^2∙101∙137 2∙3^3∙5∙67^2 2∙3∙337∙3109 2^2∙3∙7∙1936817 2∙3^3∙72116287 3∙17∙602456243 2∙3∙19∙307∙401∙4241 2∙3∙5∙7∙7559∙1430441 3^4∙5∙19∙3761∙128221
l.p.(10) 17262 16968420 3143199 ? ? ? ? ? ?
p(z) 2468AE 04:08:12:16:20:25 07:14:21:28:35:43 12:24:36:48:60:73 017:034:051:068:085:103 019:038:057:076:095:115 035:070:105:140:175:211 038:076:114:152:190:229

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 nebo Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, jen z jsou vždy o 1 větší)

RepunityEditovat