Wikiverzita

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 8

< Číselné soustavy
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

editovat
  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 8: 11111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 8: 11111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111 * 10001. Ne v každé soustavě je 10001(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Pokud číslo 10001(z) je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 8, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  5. V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 8). Podíl (10001/2)(z) je vždy ve tvaru z/2-1/2:z/2-1/2:z/2-1/2:z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 1112(3) (1 = 3(10)/2 - 1/2) (2 = 3(10)/2 + 1/2; 1 = 10(3)/2 - 1/2) (2 = 10(3)/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 5556(11), v 783 soustavě 391:391:391:392(783) atd... Obecná značka: aaab, kde b=a+1.
  6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  7. Prvočísla o délce p.h. l = 8 vždy vyhovují vzorci 8n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U8)

editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U8 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 8
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/8 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/8)
  • l.p. délka periody 1/p
  • p(z) - prvočíslo, zapsané v soustavě z
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p 10001(z) nebo aaab(z) (U8)
p 17 41 257 313 1201 1297 7321 14281 41761 65537 97241 139921 160001 331777 353641 614657 750313 1156721 1336337 4477457 5278001
z 2 3 4 5 7 6 11 13 17 16 21 23 20 24 29 28 35 39 34 46 57
f k/8 2 5 2^5 2∙7 2∙3∙5^2 2∙3^4 3∙5∙61 3∙5∙
∙7∙17		 2^2∙3^2∙
∙5∙29		 2^13 5∙11∙
∙13∙17		 2∙3∙5∙
∙11∙53		 2^5∙5^4 2^9∙3^4 3∙5∙7∙
∙421		 2^5∙7^4 3^2∙17∙
∙613		 2∙5∙19∙
∙761		 2∙17^4 2∙23^4 2∙5^3∙7∙
∙13∙29
l.p.(10) 16 5 256 312 200 1296 3660 1190 20880 65536 48620 4664 1250 36864 35364 614656 750312 289180 1336336 4477456 2639000
Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 10001(z) nebo aaab(z) (U8)
p 6922921 8503057 8925313 9834497 12705841 14199121 21523361 29986577 40960001 45212177 56275441 59969537 60775313 65610001 81523681
z 61 54 65 56 71 73 81 74 80 82 103 88 105 90 113
f k/8 3∙5∙31∙
∙1861		 2∙3^12 2^4∙3∙11∙
∙2113		 2^9∙7^4 2∙3^2∙5∙7∙
∙2521		 2∙3^2∙5∙
∙13∙37∙41		 2^2∙5∙17∙
∙41∙193		 2∙37^4 2^13∙5^4 2∙41^4 2∙3∙5∙13∙
∙17∙1061		 2^9∙11^4 2∙13∙37∙
∙53∙149		 2∙3^8∙5^4 2^2∙3∙5∙7∙19∙1277
l.p.(10) 230764 8503056 2975104 9834496 794115 1419912 1345210 29986576 16000 45212176 28137720 59969536 60775312 32805000 40761840

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

editovat

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 nebo Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, jen z jsou vždy o 1 větší)

Repunity

editovat
Citováno z „https://cs.wikiversity.org/w/index.php?title=Číselné_soustavy/Unikátní_prvočísla:_l_%3D_8&oldid=91030“