Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 9

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 9: 111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 9: 111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111 * 1001001. Ne v každé soustavě je 1001001(z) prvočíslo, tak jak je tomu například ve dvojkové soustavě. Co se týče repunitu o délce R = 3, sledujte v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3, případně o jeho unikátním faktoru v článku Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3. Všimněte si, že 1001001(z) je repunitem o délce R = 3 v soustavě z3: 111(z^3) .
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. V soustavách z = 3n + 1 je číslo 1001001(z) dělitelné 3. Tento podíl je potom ve tvaru cccdde, kde c = (z - 1)/3; d = 2c a e = d + 1. Například ve čtyřkové soustavě je to 111223(4) = 1387(10). Toto číslo však není prvočíslo, je to součin 19(10)*73(10). Např. v desítkové soustavě 333667 je prvočíslo a tudíž je unikátním prvočíslem.
  5. Prvočísla o délce p.h. l = 9 vždy vyhovují vzorci 18n + 1.
  6. Prvočísla p o délce p.h. l = 9 v soustavě z mají v soustavě p - z délku p.h. l = 18.
  7. U každého prvočísla, vyhovujícího vzorci 18n + 1 je vždy právě 6 z < p, kde délka p.h. l = 9 a dalších právě 6 z < p, kde délka p.h. l = 18.

Tabulka nejmenších unikátních p (U9)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U9 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 9
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/18 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/18)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p 1001001(z) nebo cccdde(z) (U9)
p 73 757 262657 333667 1609669 1772893 64008001 85775383 308933353 729027001 15625125001 17596420453 30841155073 46656216001
z 2 3 8 10 13 11 20 21 26 30 50 51 56 60
f k/18 2^2 2∙3∙7 2^8∙3∙19 3∙37∙167 2∙61∙733 2∙11^3∙37 2^5∙5^3∙7∙127 3∙7^3∙11∙421 2^2∙3^2∙7∙13^3∙31 2^2∙3∙5^3∙13∙31∙67 2^2∙5^6∙17∙19∙43 2∙3∙13∙17^3∙2551 2^8∙7^3∙13∙19∙79 2^5∙3∙5^3∙61∙3541
p(z) 1001001 1001001 1001001 333667 444889 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 nebo s Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, jen z jsou vždy o 1 větší)

RepunityEditovat