Wikiverzita

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 9

< Číselné soustavy
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

editovat
  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 9: 111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 9: 111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111 * 1001001. Ne v každé soustavě je 1001001(z) prvočíslo, tak jak je tomu například ve dvojkové soustavě. Co se týče repunitu o délce R = 3, sledujte v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3, případně o jeho unikátním faktoru v článku Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3. Všimněte si, že 1001001(z) je repunitem o délce R = 3 v soustavě z3: 111(z^3) .
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. V soustavách z = 3n + 1 je číslo 1001001(z) dělitelné 3. Tento podíl je potom ve tvaru cccdde, kde c = (z - 1)/3; d = 2c a e = d + 1. Například ve čtyřkové soustavě je to 111223(4) = 1387(10). Toto číslo však není prvočíslo, je to součin 19(10)*73(10). Např. v desítkové soustavě 333667 je prvočíslo a tudíž je unikátním prvočíslem.
  5. Prvočísla o délce p.h. l = 9 vždy vyhovují vzorci 18n + 1.
  6. Prvočísla p o délce p.h. l = 9 v soustavě z mají v soustavě p - z délku p.h. l = 18.
  7. U každého prvočísla, vyhovujícího vzorci 18n + 1 je vždy právě 6 z < p, kde délka p.h. l = 9 a dalších právě 6 z < p, kde délka p.h. l = 18.

Tabulka nejmenších unikátních p (U9)

editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U9 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 9
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/18 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/18)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p 1001001(z) nebo cccdde(z) (U9)
p 73 757 262657 333667 1609669 1772893 64008001 85775383 308933353 729027001 15625125001 17596420453 30841155073 46656216001
z 2 3 8 10 13 11 20 21 26 30 50 51 56 60
f k/18 2^2 2∙3∙7 2^8∙3∙19 3∙37∙167 2∙61∙733 2∙11^3∙37 2^5∙5^3∙7∙127 3∙7^3∙11∙421 2^2∙3^2∙7∙13^3∙31 2^2∙3∙5^3∙13∙31∙67 2^2∙5^6∙17∙19∙43 2∙3∙13∙17^3∙2551 2^8∙7^3∙13∙19∙79 2^5∙3∙5^3∙61∙3541
p(z) 1001001 1001001 1001001 333667 444889 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001 1001001

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

editovat

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 nebo s Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, jen z jsou vždy o 1 větší)

Repunity

editovat
Citováno z „https://cs.wikiversity.org/w/index.php?title=Číselné_soustavy/Unikátní_prvočísla:_l_%3D_9&oldid=91031“