Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 5

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 5: 11111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunitová prvočísla o délce 5 (11111) jsou popsána v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5. Avšak v soustavách z = 5n + 1 jsou repunity 11111 vždy součinem 5 * hijk, kde h je (z - 1)/5, i = 2h, j = 3h a k = 4h + 1. Ne v každé soustavě je hijk(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v šestkové soustavě (1235(6)=311(10): (10(6) - 1)/5 = 1; 2*1 = 2; 3*1 = 3 a 4*1 + 1 = 5; v jedenáctkové soustavě: (10(11) - 1)/5 = 2; 2*2 = 4; 3*2 = 6 a 4*2 + 1 = 9=2469(11)=3221(10); ale: (10(16) - 1)/5 = 3; 2*3 = 6; 3*3 = 9; 4*3 + 1 = C(16); číslo 369C(16) (= B*1F*29(16) = 11*31*41(10)) a tudíž v šestnáctkové soustavě neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. l = 5.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Některé repunity 11111 mohou být i mocninou prvočísla (například v trojkové soustavě je to 11(10)=201(3), protože 201^2 = 11111(3)=121(10), případně mohou být mocninou i pětiny takových repunitů (hijk = pn). V tom případě patřičné odmocniny takových mocnin prvočísel jsou v dané soustavě unikátní prvočísla.
  5. Pokud číslo hijk(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 5, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  6. Prvočísla o délce p.h. l = 5 vždy vyhovují vzorci 10n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U5)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U5 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 5
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/10 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/10)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních p 11111-n(z) nebo hijk(z) (U5)
p(10) 11 311 3221 40841 579281 915391 2002661 30637421 104670301 152787031 240670571 361919711
z 3 6 11 21 41 46 56 111 151 166 186 206
f k/10 1 31 2∙7∙23 2^2∙1021 2^3∙13∙557 3^2∙7∙1453 2∙11∙9103 2∙11∙47∙2963 2∙3∙5∙7∙49843 3∙11∙71∙6521 7∙37∙43∙2161 29∙41∙61∙499
l.p.(10) 2 155 3220 5105 144820 7265 2002660 30637420 ? 15278703(?) ? ?
p(z) 102 1235 2469 04:08:12:17 08:16:24:33 09:18:27:37 11:22:33:45 022:044:066:089 030:060:090:121 033:066:099:133 037:074:111:149 041:082:123:165

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 nebo Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, případně se zde uvedenými, jen z jsou vždy o 1 větší)

RepunityEditovat