Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: 111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunitová prvočísla o délce 3 (111) jsou popsána v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3. Avšak v soustavách z = 3n + 1 jsou repunity 111 vždy součinem 3 * ce, kde c je (z - 1)/3 a e = 2c + 1. Ne v každé soustavě je ce(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (37(10): (10(10) - 1)/3 = 3; 2*3 + 1 = 7; ve čtyřkové soustavě: (10(4) - 1)/3 = 1; 2*1 + 1 = 3; 13(4) = 7(10); ale: (10(16) - 1)/3 = 5; 2*5 + 1 = B(16); číslo 5B(16) (= 7*D(16) = 7*13(10)) a tudíž v šestnáctkové soustavě neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. l = 3.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Některé repunity 111 mohou být i mocninou prvočísla (například v osmnáctkové soustavě je to 7, protože 7^3 = 111(18), případně mohou být mocninou i třetiny takových repunitů (ce = pn). V tom případě patřičné odmocniny takových čísel jsou v dané soustavě unikátní prvočísla.
  5. Pokud číslo ce(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 3, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  6. Prvočísla o délce p.h. l = 3 vždy vyhovují vzorci 6n + 1.
  7. V soustavě z + 1 mají odpovídající prvočísla délku p.h. l = 6 a v té soustavě jsou rovněž unikátními prvočísly (U6). Repunitová prvočísla 111(z) jsou zároveň unikátními prvočísly U6 v soustavě z + 1. V těchto soustavách (t.j. z + 1) mají tato unikátní čísla (U6) tvar g1, kde g = základ té soustavy - 1. (Pro desítkovou soustavu 91, kteréžto ovšem není unikátní, neboť je součinem 7*13)

Tabulka nejmenších unikátních p (U3)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U3 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 3
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/4 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/3)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních p 111-n(z) nebo ce(z) (U3)
p(10) 7 13 19 37 61 127 271 331 397 547 631 919 1657 1801 1951 2269 2437 2791 3169 3571 4219 4447 5167
z 4, 18 22 7 10 13 19 28 31 34 40 43 52 70 73 76 82 85 91 97 103 112 115 124
f k/6 1 2 3 2∙3 2∙5 3∙7 3^2∙5 5∙11 2∙3∙11 7∙13 3∙5∙7 3^2∙17 2^2∙3∙23 2^2∙3∙5^2 5^2∙13 2∙3^3∙7 2∙7∙29 3∙5∙31 2^4∙3∙11 5∙7∙17 19∙37 3∙13∙19 3∙7∙41
l.p.(10) 6 6 18 3 60 42 5 110 99 91 315 459 552 900 195 2268 1218 31 72 3570 4218 4446 5166
p(z) 13, 7 13 25 37 49 06:13 09:19 10:21 11:23 13:27 14:29 17:35 23:47 24:49 25:51 27:55 28:57 30:61 32:65 034:069 037:075 038:077 041:083
p(z+1) 12, 7 13 23 34 45 06:07 09:10 10:11 11:12 13:14 14:15 17:18 23:24 24:25 25:26 27:28 28:29 30:31 32:33 034:035 037:038 038:039 041:042

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3, případně se zde uvedenými, jen z jsou vždy o 1 větší. Prvočísla jsou ve tvaru g1, kde g = z - 1)

RepunityEditovat