Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 5: 11111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
    1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
    2. V soustavách o základu 5n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 5.
    3. Kromě pětky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 5) vyhovují vzorci 10n + 1 (p); (čili všechna musí být v desítkové soustavě zakončena jedničkou).
    4. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
    5. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3 a n = 4; tedy pro každé takové p existují celkem přesně čtyři (protože 5 - 1 = 4) číselné soustavy o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 5.
    6. Ve čtyřech soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 10 (1111111111).
  3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 5)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/10 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/10)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších repunitových p 11111(z) (R = 5)
p 31 2801 22621 30941 88741 245411 292561 346201 637421 837931 2625641 3500201 3835261 6377551 15018571 16007041
z 2* 7 12 13 17 22 23 24 28 30 40 43 44 50 62 63
f k/10 3 2^3∙5∙7 2∙3∙13∙29 2∙7∙13∙17 2∙3^2∙17∙29 11∙23∙97 2^3∙3∙23∙53 2^2∙3∙5∙577 2∙7∙29∙157 3∙17∙31∙53 2^2∙41∙1601 2^2∙5∙11∙37∙43 2∙3^2∙11∙13∙149 3∙5∙17∙41∙61 3^2∙7∙31∙769 2^6∙3^2∙7∙397
l.p.(10) 15 1400 7540 30940 493 49082 146280 57700 637420 837930 328205 875050 767052 212585 2145510 1143360
Tabulka nejmenších repunitových p 11111(z) (R = 5)
p 21700501 28792661 30397351 35615581 39449441 48037081 52822061 78914411 97039801 147753211
z 68 73 74 77 79 83 85 94 99 110
f k/10 2∙3∙5^2∙17∙23∙37 2∙13∙37∙41∙73 3∙5∙37∙5477 2∙3∙7∙11∙13∙593 2^4∙79∙3121 2^2∙3∙7∙13∙53∙83 2∙17∙43∙3613 19∙47∙8837 2^2∙3^2∙5∙11∙13^2∙29 3∙11∙37∙12101
l.p.(10) 7233500 28792660 15198675 1079260 19724720 6004635 52822060 15782882 ? ?

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

SledujteEditovat