Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 4

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 4: 1111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 4: 1111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11 * 101. Ne v každé soustavě je 101(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Pokud číslo 101(z) je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 4, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  5. V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 4). Podíl (101/2)(z) je vždy ve tvaru z/2-1/2:z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 12(3) (1 = 3(10)/2 - 1/2) (2 = 3(10)/2 + 1/2; 1 = 10(3)/2 - 1/2) (2 = 10(3)/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 56(11), v 783 soustavě 391:392(783) atd... Obecná značka: ab.
  6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  7. Prvočísla o délce p.h. l = 4 vždy vyhovují vzorci 4n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U4)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U4 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 4
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/4 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/4)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p 101(z) nebo ab(z) (U4)
p 5 13 17 29 37 41 61 101 113 181 197 257 313 401 421 577 613 677 761 1013 1201 1297 1301 1601
z 2, 3, 7* 5, 239* 4 41* 6 9 11 10 15 19 14 16 25 20 29 24 35 26 39 45 49 36 51 40
f k/4 1 3 2^2 7 3^2 2∙5 3∙5 5^2 2^2∙7 3^2∙5 7^2 2^6 2∙3∙13 2^2∙5^2 3∙5∙7 2^4∙3^2 3^2∙17 13^2 2∙5∙19 11∙23 2^2∙3∙5^2 2^2∙3^4 5^2∙13 2^4∙5^2
l.p.(10) 0 6 16 28 3 5 60 4 112 180 98 256 312 200 140 576 51 338 380 253 200 1296 1300 200


Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 101(z) nebo ab(z) (U4)
p 1741 1861 2113 2381 2521 2917 3121 3137 3613 4357 4513 5101 5477 7057 7321 8101 8581 8837
z 59 61 65 69 71 54 79 56 85 66 95 101 74 84 121 90 131 94
f k/4 3∙5∙29 3∙5∙31 2^4∙3∙11 5∙7∙17 2∙3^2∙5∙7 3^6 2^2∙3∙5∙13 2^4∙7^2 3∙7∙43 3^2∙11^2 2^3∙3∙47 3∙5^2∙17 37^2 2^2∙3^2∙7^2 2∙3∙5∙61 3^4∙5^2 3∙5∙11∙13 47^2
l.p.(10) 1740 1860 2112 476 630 1458 156 3136 602 242 1504 1700 1369 7056 3660 1620 2860 4418
Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 101(z) nebo ab(z) (U4)
p 9661 9941 10513 12101 12641 13457 13613 14281 14401 14621 15313 15377 15877 16381 16901 17957 19013 19801
z 139 141 145 110 159 116 165 169 120 171 175 124 126 181 130 134 195 199
f k/4 3∙5∙7∙23 5∙7∙71 2^2∙3^2∙73 5^2∙11^2 5∙7∙89 2^2∙29^2 41∙83 2∙3∙5∙7∙17 2^4∙3^2∙5^2 5∙17∙43 2^2∙3∙11∙29 2^2∙31^2 3^4∙7^2 3^2∙5∙7∙13 5^2∙13^2 67^2 7^2∙97 2∙3^2∙5^2∙11
l.p.(10) 1380 1988 10512 12100 3160 13456 6806 1190 3600 14620 5104 15376 567 5460 3380 8978 4753 9900

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 nebo Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, jen z jsou vždy o 1 větší)

RepunityEditovat