Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 4

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 4: 1111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Repunity o délce 4: 1111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11 * 101. Ne v každé soustavě je 101_(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě.
3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
4. Pokud číslo 101_(z) je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 4, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
5. V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 4). Podíl (101/2)_(z) je vždy ve tvaru z/2-1/2:z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 12₍₃₎ (1 = 3₍₁₀₎/2 - 1/2) (2 = 3₍₁₀₎/2 + 1/2; 1 = 10₍₃₎/2 - 1/2) (2 = 10₍₃₎/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 56₍₁₁₎, v 783 soustavě 391:392₍₇₈₃₎ atd... Obecná značka: ab.
6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
7. Prvočísla o délce p.h. l = 4 vždy vyhovují vzorci 4n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₄)

legenda:

• p - prvočíslo
• U - unikátní prvočíslo
• U₄ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 4
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/4 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/4)
• l.p. délka periody 1/p
• l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 101_(z) nebo ab_(z) (U₄)

p	5	13	17	29	37	41	61	101	113	181	197	257	313	401	421	577	613	677	761	1013	1201	1297	1301	1601
z	2, 3, 7*	5, 239*	4	41*	6	9	11	10	15	19	14	16	25	20	29	24	35	26	39	45	49	36	51	40
f k/4	1	3	2^2	7	3^2	2∙5	3∙5	5^2	2^2∙7	3^2∙5	7^2	2^6	2∙3∙13	2^2∙5^2	3∙5∙7	2^4∙3^2	3^2∙17	13^2	2∙5∙19	11∙23	2^2∙3∙5^2	2^2∙3^4	5^2∙13	2^4∙5^2
l.p.(10)	0	6	16	28	3	5	60	4	112	180	98	256	312	200	140	576	51	338	380	253	200	1296	1300	200

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 101_(z) nebo ab_(z) (U₄)

p	1741	1861	2113	2381	2521	2917	3121	3137	3613	4357	4513	5101	5477	7057	7321	8101	8581	8837
z	59	61	65	69	71	54	79	56	85	66	95	101	74	84	121	90	131	94
f k/4	3∙5∙29	3∙5∙31	2^4∙3∙11	5∙7∙17	2∙3^2∙5∙7	3^6	2^2∙3∙5∙13	2^4∙7^2	3∙7∙43	3^2∙11^2	2^3∙3∙47	3∙5^2∙17	37^2	2^2∙3^2∙7^2	2∙3∙5∙61	3^4∙5^2	3∙5∙11∙13	47^2
l.p.(10)	1740	1860	2112	476	630	1458	156	3136	602	242	1504	1700	1369	7056	3660	1620	2860	4418

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 101_(z) nebo ab_(z) (U₄)

p	9661	9941	10513	12101	12641	13457	13613	14281	14401	14621	15313	15377	15877	16381	16901	17957	19013	19801
z	139	141	145	110	159	116	165	169	120	171	175	124	126	181	130	134	195	199
f k/4	3∙5∙7∙23	5∙7∙71	2^2∙3^2∙73	5^2∙11^2	5∙7∙89	2^2∙29^2	41∙83	2∙3∙5∙7∙17	2^4∙3^2∙5^2	5∙17∙43	2^2∙3∙11∙29	2^2∙31^2	3^4∙7^2	3^2∙5∙7∙13	5^2∙13^2	67^2	7^2∙97	2∙3^2∙5^2∙11
l.p.(10)	1380	1988	10512	12100	3160	13456	6806	1190	3600	14620	5104	15376	567	5460	3380	8978	4753	9900

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

• Předchozí - Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3
• následující: Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 5, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 7, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 8

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 nebo Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, jen z jsou vždy o 1 větší)

• také: Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 12, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 16, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 20, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 28, Délky period převrácených hodnot prvočísel/Délka l = 4

Repunity

• Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3
• následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5