Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 12

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

editovat
  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 12: 111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 12: 111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 100010001(z) * 1111(z). (To je dále součinem 11 * 101). V každě soustavě je i číslo 100010001(z) dále dělitelné číslem 10101(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gg01, kde g = 10(z) - 1. Ne v každé soustavě je gg01(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (9901).
  3. Číslo gg01(z) můžeme získat také takto: (z - 1) * z2 * (z + 1) + 1 neboli (z2 * (z2 -1)) + 1, nebo z4 - z2 + 1.
  4. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  5. Pokud číslo gg01(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 12, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gg01.
  6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  7. Prvočísla o délce p.h. l = 12 vždy vyhovují vzorci 12n + 1.
    • Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U12)

editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U12 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 12
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/12 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/12)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních prvočísel gg01(z) (U12)
p 13 73 241 601 6481 9901 20593 28393 83233 390001 530713 809101 922561 1678321 2083693 2311921 3416953
z 2 3 4 5 9 10 12 13 17 25 27 30 31 36 38 39 43
f k/12 1 2∙3 2^2∙5 2∙5^2 2^2∙3^3∙5 3∙5^2∙11 2^2∙3∙11∙13 2∙7∙13^2 2^3∙3∙17^2 2^2∙5^4∙13 2∙3^5∙7∙13 3∙5^2∙29∙31 2^4∙5∙31^2 2^2∙3^3∙5∙7∙37 13∙19^2∙37 2^2∙3∙5∙13^2∙19 2∙7∙11∙43^2
l.p.(10) 6 8 30 300 270 12 1872 1352 27744 195000 176904 89900 76880 104895 1041846 260 1138984
p(z) 1101 2201 3301 4401 8801 9901 BB01 CC01 GG01 24:24:00:01 26:26:00:01 29:29:00:01 30:30:00:01 35:35:00:01 37:37:00:01 38:38:00:01 42:42:00:01
Pokračování tabulky nejmenších unikátních p gg01(z) (U12)
p 5306113 7308913 9147601 9831361 13842121 14772493 17846401 47451433 71630833 78066061 96049801 99990001
z 48 52 55 56 61 62 65 83 92 94 99 100
f k/12 2^6∙3∙7^2∙47 2^2∙13^2∙17∙53 2^2∙3^2∙5^2∙7∙11^2 2^4∙5∙7^2∙11∙19 2∙5∙31∙61^2 3∙7∙31^2∙61 2^5∙5^2∙11∙13^2 2∙7∙41∙83^2 2^2∙7∙13∙23^2∙31 5∙19∙31∙47^2 2∙3^3∙5^2∙7^2∙11^2 2^2∙3∙5^4∙11∙101
p(z) 47:47:00:01 51:51:00:01 54:54:00:01 55:55:00:01 60:60:00:01 61:61:00:01 64:64:00:01 82:82:00:01 91:91:00:01 93:93:00:01 98:98:00:01 99:99:00:01

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

editovat

Repunity

editovat