Tato stránka není ještě hotová.
Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.
- V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 48: 111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
- Repunity o délce 48: 111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 100000000000000010000000000000001(z) * 1111111111111111(z). (To je dále součinem 11111111 * 100000001, viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 16). V každě soustavě je i číslo 100000000000000010000000000000001(z) dále dělitelné číslem 10000000100000001(z). Zároveň je repunit o délce 48 také součinem 111111111111111111111111(z) * 1000000000000000000000001, přičemž číslo 1000000000000000000000001(z) je dělitelné 100000001(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggg00000001, kde g = 10(z) - 1. Ne v každé soustavě je gggggggg00000001(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (9999999900000001).
- Číslo gggggggg00000001(z) můžeme získat také takto: (z4 + 1) * z8 * ((z2 + 1) * (z2 - 1) + 1 neboli (z8 * (z8 -1)) + 1.
- Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
- Pokud číslo gggggggg00000001(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 48, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gggggggg00000001.
- Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
- Prvočísla o délce p.h. l = 48 vždy vyhovují vzorci 48n + 1.
- Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).
Tabulka nejmenších unikátních p (U48)
editovat
legenda:
- p - prvočíslo
- U - unikátní prvočíslo
- U48 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 48
- z - základ číselné soustavy
- f - w:faktor
- k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/48 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/48)
- l.p. délka periody 1/p
- l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
- ∙ - znak násobení
- ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
- p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních prvočísel gggggggg00000001(z) (U48)
| p |
152587500001 |
33232924804801 |
9999999900000001 |
18446744069414584321 |
48661191868691111041 |
28644003124269028499090881
|
| z
|
5 |
7 |
10 |
16 |
17 |
39
|
| f k/48
|
2∙5^8∙13∙313 |
2^2∙5^2∙7^8∙1201 |
2^4∙3∙5^8∙11∙73∙101∙137 |
2^28∙5∙17∙257∙65537 |
2^3∙3∙5∙17^8∙29∙41761 |
2^2∙3^7∙5∙13^8∙19∙761∙1156721
|
Pokračování tabulky nejmenších unikátních prvočísel gggggggg00000001(z) (U48)
| p |
63759030914645069421203521 |
2094704750199252608500730401 |
7011372354670961340525000001 |
332329305696009423519900000001 |
52040292466647262388141225410561
|
| z
|
41 |
51 |
55 |
70 |
96
|
| f k/48
|
2^2∙5∙7∙29^2∙41^8∙137∙10313 |
2∙3^7∙5^2∙13∙17^8∙73∙1301∙46337 |
2^2∙3^2∙5^8∙7∙11^8∙17∙41∙89∙111593 |
2^4∙5^8∙7^8∙13^2∙17∙23∙29∙71∙353∙4001 |
2^36∙3^7∙5∙13∙19∙41∙97∙137∙709∙15121
|
Pokračování tabulky nejmenších unikátních prvočísel gggggggg00000001(z) (U48)
| p |
61425365346268562608764173218561 |
187298124572719217479150165032961 |
8495381752253661657030938733772801 |
13696907849916094646244756191969281
|
| z
|
97 |
104 |
132 |
136
|
| f k/48
|
2^4∙5∙7^2∙97^8∙233∙941∙189977 |
2^20∙5∙7∙13^8∙17∙29∙103∙373∙1657∙4153 |
2^12∙3^7∙5^2∙7∙11^8∙17∙19∙41∙131∙303595777 |
2^20∙3^2∙5∙17^8∙53∙73∙137∙233∙349∙20113
|
Pokračování tabulky nejmenších unikátních prvočísel gggggggg00000001(z) (U48)
| p |
15400296222263289352617691682982721 |
52989210185573086737565299786055681 |
1449246325004300374661091246307680001 |
4370728015788937453407320753962500001
|
| z
|
137 |
148 |
182 |
195
|
| f k/48
|
2^2∙5∙17∙23∙41∙137^8∙1409∙1877∙3049 |
2^12∙5∙7^2∙13∙37^8∙149∙337∙433∙1108049 |
2^4∙5^4∙7^8∙13^8∙53∙61∙113∙181∙617∙15737 |
2∙3^7∙5^8∙7^2∙13^8∙17∙97∙19013∙42526489
|
Pokračování tabulky nejmenších unikátních prvočísel gggggggg00000001(z) (U48)
| p |
10516604119277813874315902176049053441 |
22452257707354557235348829785471057921 |
49706560774064164439251581380430379681
|
| z
|
206 |
216 |
227
|
| f k/48
|
2^4∙3∙5∙17∙23∙41∙103^8∙521∙42437∙203321 |
2^20∙3^23∙5∙7∙13∙31∙37∙43∙97∙1297∙1678321 |
2∙5∙19∙97∙113∙227^8∙977∙5153∙14009
|
Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.
