Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 110

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány – ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 110: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 110: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součimem 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) * 10000000000000000000000000000000000000000000000000000001(z). V žádné soustavě není 10000000000000000000000000000000000000000000000000000001(z) prvočíslo, vždy je dělitelné čísly 100001(z) a 100000000001(z) nebo (oběma, nikoliv však oběma současně; tedy jejich nejmenším společným násobkem) (bez ohledu na to, zda tato čísla jsou/nejsou prvočísla). Tento podíl je vždy ve tvaru 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011(z), kde g = z - 1 a b = z - 2.
  3. V číselných soustavách, ve kterých 1/11(10) má délku periody l.p. = 10, je číslo 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011(z) navíc dělitelné 11(10) (jedenácti).
    • Délky p.h. 1/11(10) l.p. = 10 jsou v soustavách 2, 6, 7, 8 a ve všech dalších, pro které platí z = 11n + 2 nebo z = 11n + 6 nebo z = 11n + 7 nebo z = 11n + 8.
    • Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 11) délku p.h. = l (v našem případě 10), má převrácená hodnota p2 délku periody l * p (v našem případě 10 * 11 = 110).
    • Tvar výrazu 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011(z)/11(10)) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
  4. Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 110.
  5. Stejnou délku p.h. (t.j. 110) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z(2n + 1) (lichý exponent) s výjimkou všech z(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 22 (nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 55) a všech z(11*(2n+1)) (exponent, dělitelný 11), kde je l.p. = 10 (nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 55). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet z menších, než p.
  6. Prvočísla o délce p.h. l = 110 vždy vyhovují vzorci 110n + 1.
  7. Pro (kladné) základy p - z (z je z výše uvedených pro l = 110) platí, že jejich l.p. = 55(10).
  8. zdaleka ne každé číslo 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 110n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 110.

Tabulka nejmenších unikátních p (U110)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U110 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 110
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/110 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/110)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
  • * (hvězdičkou) jsou označeny čísla, číselné soustavy a další, kde číslo 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011(z) je dělitelné 11(10) (jedenácti)
Tabulka nejmenších unikátních prvočísel 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011(z) (U110) nebo jejich jedenáctin*
p 10910444855403996246103496881 1589964573680716277298682310078923206992149252451* 11544868483876542417134734645670674427914239932800021
z 5 17* 20
f k/110 2^3∙3∙13∙71∙2003∙94169∙
∙23738207557447
5∙37∙71∙101∙1733∙79609∙3380022297343∙
∙23364850965971515127
2∙3∙7∙17∙19∙61∙149∙193∙251∙401∙6403973∙
∙57736978081∙118508484365

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

RepunityEditovat