Wikiverzita

Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 71

< Číselné soustavy
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

editovat
  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 71: 111...11171. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
    1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
    2. V soustavách o základu 71n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 71.
    3. Kromě prvočísla 71, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 71) vyhovují vzorci 142n + 1 (p).
    4. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
    5. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 70; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sedmdesát (protože 71 - 1 = 70) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 70.
    6. V sedmdesáti soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 142 (111...111)142.
  3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 71)

editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) (R = 71)
z p f k/142
3 3754733257489862401973357979128773 2∙3∙11^2∙61∙547∙1093∙2664097031∙374857981681
6 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371 3∙5∙7^2∙11∙29∙101∙197∙311∙631∙701∙2311∙9241∙
∙55987∙585131∙37863211x1469029031
17 143798195172461138521036839345269251740737334259640879028155379795667047030720519999127 3^2∙11∙17∙101∙701∙88741∙966211∙21998621∙22796593∙
∙25646167∙15030659834591591∙512718953215732865581052501
Pokračování tabulky (R = 71)
z p
24 4298038738591350241903359894361937263902417766066948735111854394786520954312466554848504069671001
37 61097003103184669235517359417485905028897850322027200141703138362247062800773927423870139498763891657761796267
89 2898730229797885323209957465243741561302097290597015303016695788234945620176187627061787205329043124058859972-
-8184946817952685377877484351
132 27763730491415947420276063760504473373134386840348017729724840245049577125023881234320520775191465481034520-
-292919104838129785375911573334262342463957

f k/142 (R71, z=24): 2^2∙3∙5^3∙11∙29∙239∙5791∙28771∙346201∙183458857∙1892603411161∙9511926434738061671∙1389307926104143220565076487602201

f k/142 (R71, z=37): 11∙19∙37∙41∙4271∙641761∙1824841∙37140797∙2431478911∙2498207293∙27020808033199902818191∙44506479634069870581598388889425710801

f k/142 (R71, z=89): 3^2∙5^2∙31∙89∙131∙211∙691∙701∙3221∙329617∙400291∙1491001∙3139991∙502628805631∙83999238361920629083112156644098941∙
∙292368249098271826360563771388968911082878011


Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte

editovat
Citováno z „https://cs.wikiversity.org/w/index.php?title=Číselné_soustavy/Repunitová_prvočísla:_l_%3D_71&oldid=65590“