Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 111

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 111: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 111: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) dělitelné 1111111111111111111111111111111111111_(z) a 111_(z) (bez ohledu na to, zda tito činitelé jsou či nejsou prvočísly). Tento podíl je vždy ve tvaru

g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (900900900900900900900900900900900900990990990990990990990990990990990991 = 37 * 30557051518647307 * 8845981170865629119271997 * 90077814396055017938257237117₍₁₀₎). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 222n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 111.

V číselných soustavách, ve kterých 1/37₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 3, je číslo g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) navíc dělitelné 37₍₁₀₎ (třiceti sedmi).
- Délky p.h. 1/37₍₁₀₎ l.p. = 3 jsou v soustavách 10, 26 a ve všech dalších, pro které platí z = 37n + 10 nebo z = 37n + 26.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 37) délku p.h. = l (v našem případě 3), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 3 * 37 = 111).
- Tvar výrazu g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z)/37₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 111, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 111) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani 37, natož 111. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě sedmdesát dva z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 222.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₁)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₁₁ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 111
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/222 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/222)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) (U₁₁₁)
p	460800089869190921983707017028122544209524176520602249782381908735149795083701	6931244165465582593436591960015434384387966170950106739103537497485452750182902871805074337484753987125326895996781331723999195332931
z	12	70
f k/222	2∙5^2∙7∙11∙13∙19∙29∙73∙919∙1657∙1801∙20593∙80749∙122138321401∙ ∙340939312907∙5429295835403213867609437	3^2∙5∙7∙13^2∙19∙23∙29∙71∙73∙433∙991∙4831∙328837∙698821∙6248269∙1059903991∙146155882921195747∙ ∙31966021249150926097∙605792619113795767107149302204027259200392611

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 111

Obsah

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₁)

Sledujte

Repunity

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 111

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U111)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₁)