Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 55

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 55: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 55: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111 * 100000000001000000000010000000000100000000001 a zároveň také součinem 11111 * 100001000010000100001000010000100001000010000100001. Podíl 100000000001000000000010000000000100000000001/11111 je roven podílu 100001000010000100001000010000100001000010000100001/11111111111 a je vždy ve tvaru g0000g0000gg000gg000ggg00ggg00gggg0gggg1(z), kde g = z - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l) = 55.
  3. V číselných soustavách, ve kterých 1/11(10) má délku periody l.p. = 5, je číslo g0000g0000gg000gg000ggg00ggg00gggg0gggg1(z) vždy dělitelné ještě jedenácti a podíl má jiný tvar.
    • Délky p.h. 1/11(10) l.p. = 5 jsou v soustavách 3, 4, 5 a 9 a ve všech dalších, kde z vyhovuje vzorci z = 11n + a, kde a je rovno 3 nebo 4 nebo 5 nebo 9.
    • Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 11) délku p.h. = l (v našem případě 5), má převrácená hodnota p2 délku periody l * p (v našem případě 5 * 11 = 55).
  4. Stejnou délku p.h. (t.j. 55) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z(n), kdy n (exponent) není dělitelné ani jedenácti, ani pěti, natož padesáti pěti. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 40 z menších, než p.
  5. Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 110.
  6. Zdaleka ne každé číslo g0000g0000gg000gg000ggg00ggg00gggg0gggg1(z) (případně ve výše uvedených případech jeho jedenáctina) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 110n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 55.
  7. V desítkové soustavě všechna tato unikátní prvočísla (i v předchozím bodě zmíněné faktory) končí jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U55)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U55 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 55
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/110 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/110)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p g0000g0000gg000gg000ggg00ggg00gggg0gggg1(z) nebo jeich jedenáctin* (U55)
p 5457586804596062091175455674392801 590942011471566261212035041517359275008998041* 4278615650980746183804109195019567205662649328269728501851759201
z 7 14* 39
f k/110 2^4∙3∙5∙7∙191∙521∙1021∙1137811∙
∙255465186133321
2^2∙53∙1409∙3761∙147353∙
∙32452115372018811816221581001*
2^4∙3∙5∙13∙19∙281∙761∙1181∙41011∙516520547∙
∙3830558051∙36608816989∙874632913600063

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

RepunityEditovat