Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 107

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 107: 111...111₁₀₇. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
   1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5, osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73 a sedmadvacítková soustava, kde opět R₃ (111) je 757.
   2. V soustavách o základu 107n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 107.
   3. Kromě prvočísla 107, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 107) vyhovují vzorci 214n + 1 (p).
   4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
   5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 106; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sto šest (protože 107 - 1 = 1026) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 106.
   6. Ve stu šesti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 214 (111...111)₂₁₄.
3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 107)

legenda:

• p - prvočíslo
• R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 107)

z	p
2	162259276829213363391578010288127
19	3727029213159221227481880371758988192479699585560736992193446518019059007305528138257031138276615655165685013865802400046939654576178541
61	17870680721834899593559172450744908520019743747104745110661682132681678976648776797926612687975059408322639987517247848437207231177335619- -36531170027436678181088514971669145376304688265206367
68	17880466975487969014778144078156164909550058226486674791581478702943313870165324573879276820417546679087010963423407547132056518562318476- -6819552953661766428316074988217223977325947846406595916693
112	16634335130277568783412799548312968305052470797478761578506886830247000348448637253278185459991968484952578427007294061260777110252011215- -090364149902225619080699570249997727034614235706263850771339957921376036551303537

f k/214 (R107, z=2): 3∙6361∙69431∙20394401∙28059810762433

f k/216 (R107, z=19): 2∙5∙19∙104095533511∙323930821687153∙2551089855701675251204783∙37334173314913678536474517∙210146007928707977384770009∙135818088892456368195992838307

f k/214 (R107, z=61): 31∙61∙2333∙145963∙2799184268335147360617347079224746490992349612030418707511487619441500331513883799676243∙
∙4632834490460382939146988656210175388855137786801684733458524504080913805969888923222347

f k/214 (R107, z=68): 2∙3∙17∙23∙743∙4877∙12774001194985638103∙74603650264116948313∙10347809436867999836437∙1325767646104433555787107∙ 3562559466587419006927152972923∙156798940738124874790621448634137∙13458212800264528680813021234853763

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte

• Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 103
• následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 109