Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 42

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 42: 11111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 42: 11111111111111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111 * 1000000000000000000001. Obě tato čísla jsou v každé soustavě dělitelná dále: první viz U21, druhé je dělitelné číslem 11(z). Tento podíl je vždy ještě dělitelný čísly g1(z) (jehož l = 6) a g0g0g1(z) (jehož l = 14); a výsledek je vždy ve tvaru 10gbg00gbg011, kde g = z - 1 a b = z - 2. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 42.
  3. V číselných soustavách, ve kterých 1/7(10) má délku periody l.p. = 6, je číslo 10gbg00gbg011 navíc dělitelné 7(10) (sedmi).
    • Délky p.h. 1/7(10) l.p. = 6 jsou v soustavách 3, 5 a ve všech dalších, pro které platí z = 7n + 3 nebo z = 7n + 5.
    • Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 7) délku p.h. = l (v našem případě 6), má převrácená hodnota p2 délku periody l * p (v našem případě 6 * 7 = 42).
    • Tvar výrazu 10gbg00gbg011(z)/7(10)) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
  4. Stejnou délku p.h. (t.j. 42) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z(2n + 1) (lichý exponent) s výjimkou všech z(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 14 a všech z(7*(2n+1)) (exponent, dělitelný 7), kde je l.p. = 6. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě dvanáct z menších, než p.
  5. Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je 21.
  6. Zdaleka ne každé číslo 10gbg00gbg011(z) (nebo v příslušných soustavách jeho sedmina) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 42n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 42.

Tabulka nejmenších unikátních p (U42)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U42 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 42
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/42 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/42)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p 10gbg00gbg011(z) nebo jeho sedmin* (U42)
p 5419 2527867231 77158673929 3421169496361 88109799136087* 22865554874031409 3475688599752347161
z 2 6 8 11 17* 23 35
f k/42 3∙43 5∙43∙279941 2^2∙3^2∙73∙699053 2^2∙3∙5∙7∙11∙19∙927961 13∙38543∙4186837* 2^3∙3^3∙11∙23∙79∙1723∙73189 2^2∙3^2∙5∙13∙17∙97∙151∙1747∙81299
p(z) 1010100101011 1054500545011 1076700767011 10A9A00A9A011 29BGE9E999C5* 01:00:22:21:22:00:00:22:21:22:00:01 01:00:34:33:34:00:00:34:33:34:00:01

l.p.(10): 5419: 5418.

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 10gbg00gbg011(z) (U42)
p 23113483969970021041 195489390796456327201 1474204440326002547779 5775495864363550765441 143914955231593824825961
z 41 49 58 65 85
f k/42 2^3∙3^2∙5∙23∙41∙239∙1723∙3936577 2^4∙3∙5^2∙7∙19∙43∙678223072897 3∙11∙19∙29∙59∙163∙7963∙25207313 2^6∙3∙5∙11∙13∙613∙5791∙282175093 2^2∙3∙5∙17∙43∙2437∙3041∙67777∙155537

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

RepunityEditovat