Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 109

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 109: 111...111₁₀₉. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
   1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5, osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73 a sedmadvacítková soustava, kde opět R₃ (111) je 757.
   2. V soustavách o základu 109n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 109.
   3. Kromě prvočísla 109, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 109) vyhovují vzorci 218n + 1 (p).
   4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
   5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 108; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sto osm (protože 109 - 1 = 108) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 108.
   6. Ve stu osmi soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 218 (111...111)₂₁₈.
3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 109)

legenda:

• p - prvočíslo
• R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 109)

z	p
12	388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941
57	43870364349413283277687365787237649433318687023220870062110905832697513034324734069412152991854885819404046897214380546938390332538958264- -47045419085282976298029735197978617544284648932101501
72	3962632182075736548383276272891183255370025475576310430062556170860404059860742828157748175379386257053513207639351698434939628292009556- -71943999820709466618450854966520469534909034417207806276094416521
79	88973023266894547658732617519192315940264402820524684926026628721318558672526927049964933528772256280001834006523801100027039924611551568- -63187368428343858110383937558499890161206451670068135155031146210081
89	3459617236203356197946835649484254544260562266884211182321696031246690133421022052391637573571832060892011131919412374281786951243102773652- -349551965312567981594535276686305935706071036257061400709275390053863741
129	885255131676647286873051104729767939694510934467119743722272830084946352396954235341716213983241898439536424701313921616104857447279573890- -784406938693332606886904694739437819297027852101656241740112495448180657765330464684310381
158	286894898390424598156828501619533993742937642905792221292632576928178365935330439332248908249504349825283367598453655924785640739820887580- -8680351706762299407525498638324197022146595401467472946517097830947226610007893498086230947062708811

f k/218 (R109, z=12): 2∙3∙5∙7∙13∙19∙29∙37∙73∙157∙271∙433∙487∙1657∙1801∙3889∙20593∙39097∙80749∙306829∙42729553∙47336293∙122138321401∙165042892009∙59686188135337∙86769286104133

f k/218 (R109, z=57): 2∙3∙5^3∙13∙19∙29∙31∙37∙73∙103∙577∙919∙937∙3307∙18289∙20593∙1665451∙2185867∙469811809∙201187179649∙719819240977∙33927897945402037∙60982951439814589∙
∙18455408755743630569375179∙74210952151203222945385841684201212371436860805333

f k/218 (R109, z=72): 2^2∙3^2∙5∙7∙13∙17∙19∙37∙61∙73∙181∙337∙751∙937∙5113∙6133∙27073∙41149∙48817∙340849∙2197747∙5157793∙20754361∙148681369∙1638417241∙7332299803∙55576743122449∙
∙446339525722266133∙33805653801602660281∙3609484786683025117291∙65709119483016277315345226389

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte

• Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 107
• následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 113