Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 127

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 127: 111...111₁₂₇. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
   1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5, osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73 a sedmadvacítková soustava, kde opět R₃ (111) je 757.
   2. V soustavách o základu 127n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 127.
   3. Kromě prvočísla 127, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 127) vyhovují vzorci 254n + 1 (p).
   4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
   5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 126; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sto dvacet šest (protože 127 - 1 = 126) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 127.
   6. Ve stu dvaceti šesti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 254 (111...111)₂₅₄.
3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 127)

legenda:

• p - prvočíslo
• R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 127)

z	p
2	170141183460469231731687303715884105727
5	14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531
6	133733063818254349335501779590081460423013416258060407531857720755181857441961908284738707408499507
47	49393536963321376486601586104862732458004985312190460562853982498950460605957910076162536276600644635840127374276057597328944390- -61580553419678353685587762357233722998146101218334328347614340561470069315963989297
50	1199484031451313783641567895124740487570066894665395430110971128855527815770129768215880102040816326530612244897959183673469387755- -1020408163265306122448979591836734693877551020408163265306122448979591836734693877551
126	44683709215025484063908355168273701366986540518334087264849233635313558652432248631481855055733263921149658870123637914665221422- -63979946418360408810726383798736623707930759717087868647605180094521963903506024545939702914128119344248374866484154714725824456381859627
151	3580808099403304317007585567468496128722897192683339384095592981627306063527991090688332395063643977691439590519514407846241315879744310- -8889204819347546722973108014405714466231300372780546114994992843947689674026917341224044091413569725456154821969620702648633274574517762777
226	416475303748103506787280851046156185754283413998696720411898728955549338466306386151743956124240442463393818950431544173540889018173517552283363270- -830653533615014724820151617400486734763287818764348337544418020074296814454326579183402922727658376783057356003725929312206359257686530325725253909727

f k/254 (R127, z=2): 3^3∙7^2∙19∙43∙73∙337∙5419∙92737∙649657∙77158673929

f k/254 (R127, z=5): 3^3∙5∙7^2∙19∙29∙31∙43∙379∙449∙829∙883∙5167∙7603∙19531∙280729∙406729∙519499∙2161279∙24132781∙1692416503∙23792163643711

f k/254 (R127, z=6): 3∙7^2∙19∙29∙31∙43∙197∙379∙2467∙46441∙55987∙8387947∙616332907∙1822428931∙2527867231∙5239858051∙154260982009∙528921402377887

f k/254 (R127, z=47): 2^3∙3^3∙7^2∙19∙37∙43∙47∙61∙103∙3529∙3691∙5881∙23227∙95929∙355321∙400681∙973459∙1794703∙2155861∙256128979∙567332587∙589101787∙2234786206087∙218986325740360251685780429843∙
∙(C53680624381352730696918851063601558450079227725464501962118798120908377119561C)

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte

• Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 113
• následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 131