Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 49

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 49: 1111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 49: 1111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1000000100000010000001000000100000010000001(z) * 1111111(z).
  3. V číselných soustavách o základu z = 7n + 1 je navíc číslo 1000000100000010000001000000100000010000001(z) dělitelné 7 (sedmi).
    • Takovýto podíl je potom ve tvaru 111111122222223333333444444455555556666667, kde "1" = (z - 1)/7, "2" = 2 * "1" atd. neboli aaaaaaabbbbbbbcccccccdddddddeeeeeeeffffffg, kde opět a = (z - 1)/7, b = 2a atd. Například v osmičkové soustavě je číslo 111111122222223333333444444455555556666667(8) (= 12152947470724737998788815750591901111(10)) součinem 100402010040201(8) * 1104444555111122222001111067(8) ( = 4432676798593(10) * 2741672362528725535068727(10)).
  4. Ne v každé soustavě je číslo 1000000100000010000001000000100000010000001(z) (nebo v příslušných soustavách jeho sedmina ve tvaru aaaaaaabbbbbbbcccccccdddddddeeeeeeeffffffg) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
  5. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  6. Pokud číslo 1000000100000010000001000000100000010000001(z) (nebo v příslušných soustavách jeho sedmina ve tvaru aaaaaaabbbbbbbcccccccdddddddeeeeeeeffffffg) je složené, mají faktory délku p.h. l = 49, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  7. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  8. Prvočísla o délce p.h. l = 49 vždy vyhovují vzorci 98n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U49)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U49 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 49
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/98 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/98)
  • l.p. délka periody 1/p
  • p(z) - prvočíslo, zapsané v soustavě z
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p 1000000100000010000001000000100000010000001(z) nebo jejich sedmin* (U49)
p 4432676798593 227376585863531112677002031251 324819536347890139690467821700232370\
\24034772600533621651785825892857143*
797344307913386996968846432224565721530\
\7963088727984295006401811829181849
190744032129434864322712162983079767192\
\2311527145210524193476739720909598593
z 2 5 50* 57* 62
f k/98 2^6∙3^2∙43∙
∙337∙5419
3^2∙5^7∙29∙31∙43∙127∙379∙
∙449∙7603∙519499
3∙7∙16788089∙2277696793∙5027982601∙
∙82092944333969148857896114223314586034487
2^2∙3∙6373∙68713∙72577∙6862185591301∙
∙3031808458375787∙10253981167480557535012280323
2^6∙3^3∙13∙29∙31^7∙43∙97∙617∙631∙3907∙11299∙25033∙
∙446293∙518113∙387858661∙6747437142434647

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

RepunityEditovat