Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 81

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 81: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 81: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001(z). Ne v každé soustavě je 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001(z) prvočíslo, tak jak tomu není například ve dvojkové soustavě. Co se týče repunitu o délce U = 27, sledujte v článku Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 27. Všimněte si, že 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001(z) je repunitem o délce R = 3 v soustavě z27: 111(z^27) .
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. V soustavách z = 3n + 1 je číslo 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001(z) dělitelné 3. Tento podíl je potom ve tvaru cccccccccccccccccccccccccccdddddddddddddddddddddddddde, kde c = (z - 1)/3; d = 2c a e = d + 1. Například ve čtyřkové soustavě je to 111111111111111111111111111222222222222222222222222223(4) = 108172851219475581599184843352747(10). Toto číslo však není prvočíslo, je to součin 163(10)*2593(10)*71119(10)*135433(10)*97685839(10)*272010961(10).
  5. Prvočísla o délce p.h. l = 81 vždy vyhovují vzorci 54n + 1.
  6. Prvočísla p o délce p.h. l = 81 v soustavě z mají v soustavě p - z délku p.h. l = 162.
  7. U každého prvočísla, vyhovujícího vzorci 162n + 1 je vždy právě 18 z < p, kde délka p.h. l = 81 a dalších právě 54 z < p, kde délka p.h. l = 162.

Tabulka nejmenších unikátních p (U81)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U81 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 81
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/162 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/162)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001(z) nebo jejich třetin* (U81)
z p(10) f k/162
21 251097226443098886970664441840231990201201851332912023687544574398706423 3^23∙7^27∙11∙19∙37∙199∙421∙613∙5077∙17497∙
∙7101932659132249
28* 467102764647624870534174882972667122829050205740085854715337092963516619074219* 3^2∙19^2∙271∙283∙541∙11953∙192883∙
∙444979∙1159422961∙260805287431668587∙
∙68948693997660959163751
50 55511151231257827021181583404541015625000000007450580596923828125000000000000000000000000001 2^26∙5^54∙17∙19∙43∙10369∙20899∙28603∙
∙182089∙611038027∙9603028198891

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

RepunityEditovat