Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 47

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 47: 11111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
    1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
    2. V soustavách o základu 47n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 47.
    3. Kromě prvočísla 47, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 47) vyhovují vzorci 94n + 1 (p).
    4. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
    5. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 46; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně čtyřicet šest (protože 47 - 1 = 46) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 47.
    6. Ve čtyřiceti šesti soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 94 (111...111)94.
  3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 47)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/94 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/94)
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111111111111111111111(z) (R = 47)
z p f k/94
5 177635683940025046467781066894531 3∙5∙8971∙332207361361∙42272797713043
17 423622795798733187216959754496018087627393990881167960767 3^2∙17∙26552618219228090162977481∙
∙1109309383381084655697725873
19 70169234660105574400577005075855017842743056666917902427141 2∙5∙19∙277∙691∙2347∙2531∙16497763013∙
∙1335495402823∙156832034288392140949
55 116052004561246271601363039971898739754708554056434805985460385542224954675745081 2^2∙5∙7∙11∙139∙2393∙1320838364081∙233739146375730547∙
∙9572889968109521629∙815497018760514845893
62 28647027924883365832009197540551494206203337922266156117533489001511682209161111787 3^2∙7∙31∙139∙1933∙16699∙4825281137∙23548081169∙214974545833∙
∙1498683775957∙950029658567902449005947

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

SledujteEditovat