Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 43
Tato stránka není ještě hotová.
Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.
Drobečky teorie
editovat- V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 43: 1111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
- Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
- Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
- V soustavách o základu 43n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 43.
- Kromě prvočísla 43, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 43) vyhovují vzorci 86n + 1 (p).
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 42; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně čtyřicet dva (protože 43 - 1 = 42) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 43.
- Ve čtyřiceti dvou soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 86 (111...111)86.
- Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.
Tabulka nejmenších repunitových p (R = 43)
editovatlegenda:
- p - prvočíslo
- R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
- z - základ číselné soustavy
- f - w:faktor
- k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/86 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/86)
- ∙ - znak násobení
- ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
| z | p | f k/86 |
|---|---|---|
| 15 | 26656068987980386414408582952871386493955339704241 | 2^3∙3∙5∙7∙211∙241∙723031∙1743463∙10678711∙ ∙191354311∙2817034275427 |
| 21 | 35842614220783025524408588074144786493150233831596714503 | 3∙7∙11∙337∙421∙463∙631∙3319∙4789∙6427∙81867661∙ ∙227633407∙22864311556633 |
| 26 | 279199061472649689615930789290784389297167871396904357110743 | 3^4∙7^2∙13∙19∙31∙37∙71^2∙211∙337∙59011∙90847∙321272407∙ ∙2997305809∙1560259846741 |
| 86 | 1794793457558728068881896380589101991122424128407905197767108407160765177758155523 | 3^2∙7^2∙29∙379∙421∙883∙1069∙2437∙52543∙1080018073∙ ∙399917037031∙7485220045983037∙26172416842386831031 |
Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".