Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 140

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 140: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 140: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě nejmenším společným násobkem čísel 10000000001_(z) a 100000000000001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru 100gggggggbgbgbgg000101010100gggbgbgbgg0000000101_(z), kde g = z - 1 a b = z - 2.
Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 140.
Stejnou délku p.h. (t.j. 140) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 28 a všech z^(7*(2n+1)) (exponent, dělitelný 7), kde je l.p. = 20 (pokud je exponent dělitelný 35, je l.p. = 4). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet osm z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 140. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 140n + 1, existuje právě dvacet čtyři párů z, jejichž vzájemný součet je roven p.
Zdaleka ne každé číslo 100gggggggbgbgbgg000101010100gggbgbgbgg0000000101_(z) je prvočíslem, tak jako tomu není ani v desítkové soustavě, kde číslo 1009999999898989900010101010099989898990000000101 = 421 * 3471301 * 13489841 * 60368344121 * 848654483879497562821. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 140n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 140.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₄₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₄₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 140
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/140 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/140)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 100gggggggbgbgbgg000101010100gggbgbgbgg0000000101_(z) (U₁₄₀)
z	p₍₁₀₎
	f k/140
4	84179842077657862011867889681
	2^2∙3^2∙13∙17∙241∙257∙6619∙184349833435309
13	296376064934132422053161022580730249078367228427198561
	2^3∙3^2∙13^2∙17∙61∙103∙157∙14281∙28393∙748729394561∙34173186136688847503
24	1781939405649101449661661622646537265624312379205148225781654094401
	2^4∙3^2∙5∙13∙23∙73∙79∙349∙577∙601∙30949∙331777∙2227457581523∙3703677888596143011621313
26	83054405772702110896473860973315745418298624926080298432847170408101
	3^4∙5∙13^2∙17∙x19∙31∙37∙181∙677∙2521∙2683∙26881∙308317∙3405832750083577027676011341966241
38	6759480063455520746025232098349997935537139266095227238542584094860364452261
	3^2∙13∙17^2∙19^2∙37∙41∙67∙1483∙50857∙209179∙2083693∙8661089∙136684025328287282200368879790317629
49	1347698311896398262115524401787850534828614953985505327369990790423147269305628801
	2^5∙3^2∙5∙7^3∙13∙17∙19∙43∙73∙163∙181∙193∙409∙1201∙169553∙750155102157547462399∙4156468530080599244908831573
53	58263466670802803290219790334797531691889378197231894699121069583670993202723483681
	2^3∙3^4∙13∙17∙53^2∙281∙409∙919∙1153∙6841∙232073∙1637139223∙67772318161∙48227267846569460934092219242783
96	140950398255881555289445071792379725805445428269883369894745418683600049650510129235054626350081
	2^8∙3^2∙13∙19∙41∙59∙67∙97∙137∙139∙151∙709∙1303∙7177∙11833∙15121∙339679∙23404229∙ ∙10446333627795418579∙397217358951011223338171

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

také Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5, Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 7

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 140

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U140)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₄₀)