Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 100

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 100: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 100: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000000000000000000000000000000000001(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě číslem 10000000001(z) (a to i 101(z)). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggggg0000000000gggggggggg0000000001(z)', kde g = z - 1. V soustavách o základu z = 5n + 2 a 5n + 3 navíc platí, že číslo gggggggggg0000000000gggggggggg0000000001 je dělitelné ještě 5 (pěti).
    • Délky p.h. 1/5(10) l.p. = 4 jsou v soustavách 2, 3 a ve všech dalších, pro které platí z = 5n + 2 nebo z = 5n + 3.
    • Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 5) délku p.h. = l (v našem případě 4), má převrácená hodnota p3 délku periody l * p2 (v našem případě 4 * 52 = 100).
    • Tvar výrazu gggggggggg0000000000gggggggggg0000000001(z)/5(10)) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
  3. Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 100.
  4. Stejnou délku p.h. (t.j. 100) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z(2n + 1) (lichý exponent) s výjimkou všech z(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 20 (nebo 4, pokud je exponent dělitelný i 25). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřcet z menších, než p.
  5. Prvočísla o délce p.h. l = 100 vždy vyhovují vzorci 100n + 1.
  6. Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 100. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 100n + 1, existuje právě dvacet párů z, jejichž vzájemný součet (v páru) je roven p.
  7. zdaleka ne každé číslo gggggggggg0000000000gggggggggg0000000001(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 100n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 100.

Tabulka nejmenších unikátních p (U100)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U100 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 100
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/100 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/100)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p gggggggggg0000000000gggggggggg0000000001(z) nebo jejich pětin* (U100)
p 10995116277758926258176000104857599999989760000000001 99526155523386517795939084649761136645007637099165901*
z 20 22*
f k/100 2^18∙3∙5^8∙7∙11∙19∙61∙251∙148721∙152381∙160001∙4406613081041681 97∙181∙401∙150901∙936807650995120929201945313272784257587

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

RepunityEditovat