Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 100

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 100: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 100: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě číslem 10000000001_(z) (a to i 101_(z)). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggggg0000000000gggggggggg0000000001_(z)', kde g = z - 1. V soustavách o základu z = 5n + 2 a 5n + 3 navíc platí, že číslo gggggggggg0000000000gggggggggg0000000001 je dělitelné ještě 5 (pěti).
- Délky p.h. 1/5₍₁₀₎ l.p. = 4 jsou v soustavách 2, 3 a ve všech dalších, pro které platí z = 5n + 2 nebo z = 5n + 3.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 5) délku p.h. = l (v našem případě 4), má převrácená hodnota p³ délku periody l * p² (v našem případě 4 * 5² = 100).
- Tvar výrazu gggggggggg0000000000gggggggggg0000000001_(z)/5₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 100.
Stejnou délku p.h. (t.j. 100) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 20 (nebo 4, pokud je exponent dělitelný i 25). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřcet z menších, než p.
Prvočísla o délce p.h. l = 100 vždy vyhovují vzorci 100n + 1.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 100. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 100n + 1, existuje právě dvacet párů z, jejichž vzájemný součet (v páru) je roven p.
zdaleka ne každé číslo gggggggggg0000000000gggggggggg0000000001_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 100n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 100.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₀₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₀₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 100
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/100 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/100)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p *gggggggggg*0000000000gggggggggg0000000001_(z) nebo jejich pětin* (U₁₀₀)
p	10995116277758926258176000104857599999989760000000001	99526155523386517795939084649761136645007637099165901*
z	20	22*
f k/100	2^18∙3∙5^8∙7∙11∙19∙61∙251∙148721∙152381∙160001∙4406613081041681	97∙181∙401∙150901∙936807650995120929201945313272784257587

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 100

Obsah

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₀₀)

Sledujte

Repunity

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 100

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U100)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₀₀)