Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 144

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 144: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 144: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1000000000000000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000001(z) * 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z). (To je dále součinem 11111111111111111111111(z) * 1000000000000000000000001(z), viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 48). V každě soustavě je i číslo 1000000000000000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000001(z) dále dělitelné číslem 1000000000000000000000001000000000000000000000001(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggggggggggggggggggg000000000000000000000001, kde g = 10(z) - 1. Ne v každé soustavě je gggggggggggggggggggggggg000000000000000000000001(z) prvočíslo, tak jako tomu například není ani v desítkové soustavě (999999999999999999999999000000000000000000000001 = 8929 * 111994624258035614290513943330720125433979169).
  3. Číslo gggggggggggggggggggggggg000000000000000000000001(z) můžeme získat také takto: (z24 * (z24 -1)) + 1.
  4. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  5. Pokud číslo gggggggggggggggggggggggg000000000000000000000001(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 144, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gggggggggggggggggggggggg000000000000000000000001.
  6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  7. Prvočísla o délce p.h. l = 144 vždy vyhovují vzorci 144n + 1.
  8. Stejnou délku p.h. (t.j. 144) má takové prvočíslo p i ve všech soustavách z(2n + 1) (lichý exponent) s výjimkou všech z(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet osm z menších, než p.
  9. Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 144. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 140n + 1, existuje právě dvacet čtyři párů z, jejichž vzájemný součet je roven p.
  10. Pokud jde o unikátní prvočíslo o délce l = 144, je v desítkové soustavě vždy zakončeno jedničkou. (To neplatí pro faktory složených čísel, (zakončených také jedničkou), které mohou být zakončeny v desítkové soustavě i 3 nebo 7 nebo 9)
    • Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U144)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U144 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 144
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/144 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/144)
  • l.p. délka periody 1/p
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
  • p(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
Tabulka nejmenších unikátních prvočísel gggggggggggggggggggggggg000000000000000000000001(z) (U144)
z p(10)
  f k/144
6 22452257707354557235348829785471057921
  2^20∙3^22∙5∙7∙13∙31∙37∙43∙97∙1297∙1678321
24 1778851122450430889808135593631172756209449048991858671867029094401
  2^68∙3^22∙5^2∙7∙13∙23∙73∙79∙97∙349∙577∙601∙331777∙1134793633
25 12621774483536188886587657044524576122057624161243438720703125000001
  2^2∙5^48∙7∙13∙17∙31∙313∙601∙11489∙390001∙152587500001
49 1347137238494276547832006567721872890819289910086437183564644288902542085305628801
  2^3∙5^2∙7^48∙13∙17∙19∙43∙73∙181∙193∙409∙1201∙169553∙33232924804801
104 6570528241751391838983532704900380286072742829403902695437591899984837924595023884666161887969281
  2^68∙5∙7∙13^24∙17∙29∙67∙103∙163∙373∙1657∙3571∙4153∙116975041∙13685690387066881
105 10401269646942109782178152880917053598001683890701413592128950147373573470540508270263671875000001
  2^2∙3^22∙5^24∙7^24∙13∙37∙53∙67∙149∙163∙2137∙11131∙624241∙11075353∙60775313∙121539601
117 1874655040097884129653172079017728278407311868906324417302281255673491517072080460076274201655090721
  2∙3^46∙5∙7^2∙13^24∙17∙29∙37^2∙59∙109∙277∙337∙409∙1801∙5101∙12289∙13807∙3879121∙5511433

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

RepunityEditovat