Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 141

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 141: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 141: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) dělitelné 11111111111111111111111111111111111111111111111(z) a 111(z) (bez ohledu na to, zda tito činitelé jsou či nejsou prvočísly). Tento podíl je vždy ve tvaru g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1, neboli g00[15]g0[1]gg0[15]+1, kde g = 10(z) - 1. Ne v každé soustavě je g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg11(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (90090090090090090090090090090090090090090090090990990990990990990990990990990990990990990991(10) = 283 * 721030498171501831 * 441506346488360048482114135141919313523563714948107161215664533500695867(10)). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 282n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 141.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Pokud číslo g00[15]g0[1]gg0[15]+1(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 141, tudíž každé z nich není jediné takové p, a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  5. Stejnou délku p.h. (t.j. 141) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z(n), kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani 47, natož 141. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě devadesát dva z menších, než p.
  6. Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 282.

Tabulka nejmenších unikátních p (U141)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U141 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 141
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/282 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/282)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p g00[15]g0[1]gg0[15]+1 (U141)
z p(10)
  f k/282
5 16286160623917663079467944573580125726889931566772922392814390121
  2^2∙5∙8971∙332207361361∙42272797713043∙465025599163243∙49289186343416807
75 31608778839903762996263342234826186128798326638155939583724002511217468753831866218580147877161740923258645776112821000768150880468728238990655703417947599159544172087921801
  2^2∙5^2∙19∙31∙37∙139∙223∙1291∙1666351∙6557400559405867∙89161807910858051∙

43142033762891188208833∙
∙11098816932742974270795067∙760001026779351822600227261136559∙3625159653167279481577316660548997473

80 11989932987043536928989118388048257408686356050314084377422079368856067182257111545600987544940489890700939557043122729224582444800987501928714704520907267397006634778583551921
  2^3∙3^3∙5∙79∙139∙503∙587∙3449∙203183∙92058853424843339∙266272198636700083∙286598314058268587∙
∙58393196248627197795161∙42236515953158296608479417385721200358983969056228662341694503467745905910109
313 38787279965254433780555630857332437551511138694191699038603420166035676869074194339870591541859541007126662649085602771616704449453875444585156044769903739118076594862113776593383221364655980173313278623516445399497292183823531729
  2^3∙13∙157∙313∙911∙2281∙5107∙5152811∙5994150713∙7607003224747∙523330286279696977∙
C20624908294189010688262419993918795359345498400881886008738603443396916235376751736211178334485111979431048328236372304922055214272209726453852131811005360066470909C

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

RepunityEditovat