Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 90

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 90: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Repunity o délce 90: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 1000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 1000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě čísly 10000000001_(z), 100001_(z) a 1001_(z), nikoliv však všemi zároveň. Tento podíl je vždy ve tvaru 1000gggggbggbggg000001001_(z). Ne v každé soustavě je 1000gggggbggbggg000001001_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (1000999998998999000001001 = 29611 * 3762091 * 8985695684401).
3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
4. Pokud číslo 1000gggggbggbggg000001001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 90, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
5. Stejnou délku p.h. (t.j. 90) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 30 (nebo 10, pokud je exponent dělitelný i 9, nebo 6, pokud je exponent dělitelný i 15, nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 45) a všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 18. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto jsou právě dvacet čtyři z menší, než p.
6. Pro (kladné) základy p - z (z je z výše uvedených pro l = 90) platí, že jejich l.p. = 45₍₁₀₎.
7. Prvočísla o délce p.h. l = 90 vždy vyhovují vzorci 90n + 1.
8. Všechna tato unikátní prvočísla jsou i v desítkové soustavě zakončena jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₉₀)

legenda:

• p - prvočíslo
• U - unikátní prvočíslo
• U₉₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 90
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/90 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/90)
• l.p. délka periody 1/p
• l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 1000gggggbggbggg000001001_(z) (U₉₀)

p	18837001	60081451169922001	4760317816590150361	2100264885258703771875037400848422026670121	46671951837421180625319558670164182752137481
z	2	5	6	58	66
f k/90	2^2∙5^2∙7∙13∙23	2^3∙5^2∙7∙13∙31∙601∙ ∙1968749	2^2∙3∙7∙13∙31∙37∙43∙97∙ ∙10124351	2^2∙7∙13∙19∙29^3∙59∙163∙181∙673∙3307∙870241∙ ∙41036998941091	2^2∙3∙7∙11^3∙13∙37∙67∙313∙613∙4357∙4423∙33151∙512713∙ ∙2290107977

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 1000gggggbggbggg000001001_(z) (U₉₀)

z	p(10)
	f k/90
71	269278440007835840336390310259931690983460641
	2^4∙3∙7∙13∙23∙71^3∙97∙1657∙2521∙5113∙638767∙1954357∙32172463
78	2572002460610893658542756827916989742352228281
	2^2∙3∙7∙11∙13^3∙53∙59∙79∙757∙1217∙6007∙6163∙17551∙18251∙48889∙106693
80	4722375706241682033287367191557046272000512001
	2^11∙3^3∙5^2∙7^2∙13^2∙37∙43∙79∙173∙6481∙90439∙242329∙480937∙3085793
96	375413671049438935445137173837869807843572285441
	2^14∙3∙7∙13∙19∙67∙83∙97∙139∙709∙1303∙7177∙11833∙45061∙121021∙1530037
101	1269735880923854815189237525873915537785098821201
	2^3∙5∙7∙13∙17∙37∙61∙101^3∙109∙1867∙5101∙10303∙15649∙285533∙2051597491
122	118205089283690973729079566983911032886052275055401
	2^2∙5∙7∙11^2∙13∙19∙37∙41∙43∙61^3∙73∙229∙349∙911∙3034501∙1314468956495069
127	309948482901956054023804566207392705201289556032001
	2^8∙3∙5^2∙7∙13∙127^3∙457∙1231∙1613∙5419∙44273∙51581∙569209∙150544531
148	12197794248792505157047551573990904048802276856133441
	2^5∙7^2∙13∙37^3∙101∙149∙337∙2689∙3343∙7351∙21757∙178417∙2917129∙34589333
153	27076620677906562794688179780773185533900512923326881
	2^4∙3^4∙7∙11∙13∙17^3∙19∙1789∙2341∙9601∙23563∙57073∙237997∙193041869980013
183	1989876963997387062914023062851275575519857694281841121
	2^4∙3∙7∙11∙13∙17∙19∙23∙61^3∙151∙197∙223∙1753∙66433687∙1121479633∙314976996403
194	8076841824339733551191458105583781530288873300336580361
	2^2∙7∙11∙13∙61∙97^3∙193∙617∙797∙1783∙6337∙37831∙59581∙117590741∙1416430861
198	13181493572923545174398811714594387119327156753548794841
	2^2∙3^4∙7∙11^3∙13∙19∙23∙197∙199∙211∙433∙2053∙7841∙5683289∙1536914413∙16958082203
211	60642762024776630618548144033976511585264903474210444721
	2^3∙7∙13∙31∙37∙53∙73∙113∙197∙211^3∙229∙607∙1879∙8655349∙441179540280075469
244	1983151359593611171096258553667010131903093342043120445761
	2^5∙3^4∙7^2∙13∙23∙29∙61^3∙2053∙4561∙19927∙278617∙1341877∙356500637∙3544475761
258	7566115529741862983275268826422513757511982355687747123721
	2^2∙3∙7∙13^2∙19∙37∙43^3∙61∙257∙479∙1087∙1123∙1801∙3517∙13313∙14557∙15199∙619508250037
261	9985554826552796024298043194543633850189342034565861562321
	2^3∙3^4∙7∙13∙29^3∙79∙131∙859∙9769∙34061∙98606243∙4640402521∙56998073682607
354	14999552361792259752847148518178829322419622854990411302434441
	2^2∙3∙7∙13∙17∙19∙59^3∙71∙97∙113∙167∙353∙1109∙1381∙6421∙6577∙515663∙2445721∙614789257591
387	127368832496707003504624429349951160017332833067756789180364401
	2^3∙3^4∙5∙7∙13∙17∙19∙43^3∙61∙97∙193∙229∙881∙1129∙11491∙161087∙367714813∙1055681017544429
390	153302972562745418805388671555703268730012942614720241059319001
	2^2∙3∙5^2∙7∙13^3∙17∙23∙89∙109∙389∙1399∙1709∙3001∙21673∙176599∙23134257901∙393846721933601
413	606458721336850577606149738465382007889195477225869924571384561
	2^3∙3∙7^3∙13∙23∙37∙59^3∙61∙103∙389∙461∙2803∙4363∙1420303∙1464733∙431977771∙29093613193
415	681011314048015935480452976687704438378751332288814975846864001
	2^6∙3∙5^2∙7∙13∙23∙37∙83^3∙661∙677∙983∙8221∙86113∙171811∙1212793∙548644070585264389
446	3837395959936191229825279442559469927823321485045156381702907641
	2^2∙7∙13∙17∙73∙89∙149∙223^3∙727∙2131∙2731∙11701∙13729∙2882029∙10633384061∙30814759561
447	4049305655350850104705833881492938377605085219152970044644166401
	2^7∙3∙5∙7∙11∙13∙29∙53∙73∙149^3∙223∙449∙733∙2731∙200257∙39923436673∙39359965393222477
450	4754450556768442566124187007888508481283061434591796875091125001
	2^2∙3^4∙5^5∙7∙11∙13∙37∙41∙79∙97∙271∙367∙421∙449∙2083∙189421∙216481∙259852363∙10745253540563
465	10444096446405351575867850159741666722626350345521336212418904001
	2^5∙3∙5^2∙7∙13∙29∙31^3∙73∙233∙337∙643∙1481∙2371∙8941∙93979∙5229061∙10815479059908180131
475	17403902236417872522949950782589246370115372386654743194687250001
	2^3∙5^5∙7∙13∙17∙19^3∙37∙61∙79∙457∙3049∙3691∙75367∙8568661∙158712149269∙7755902087671
480	22376373417477673527577688541054482004260375451572109312110592001
	2^14∙3∙5^2∙7∙11∙13∙17∙37∙43∙421∙479∙5347∙13553∙32983∙4745021∙53083929601∙61554275004749
502	65597791018288952967959895002053724577366592053766993994690367001
	2^2∙5^2∙7∙11^2∙13∙19∙31∙53∙61∙73∙167∙251^3∙503∙1153∙3877∙80911∙125149∙1247088449∙63505764013
524	183633068207374943813745570244593052017301557403261401082200811201
	2^5∙5∙7∙11∙13∙17∙19∙37∙41∙131^3∙181∙523∙7027∙14479∙241333∙312397∙15927220014557752814477
532	264167373348511955563470305518152200610882038627807880075222024001
	2^5∙3∙5^2∙7^3∙13∙19^3∙31∙37∙41∙59∙3049∙11321∙282493∙20760023∙2164927069∙32885682451630597
549	561999940289519967067648700437213494994359925563917311670526488401
	2^3∙3^4∙5∙7∙11∙13∙37∙59∙61^3∙137∙1451∙4073∙23227∙42979∙9449597∙90842261401∙5600391543913
577	1854468744233851235109506029055407731615944761920766014895444704001
	2^7∙3∙5^2∙7∙13^2∙17^2∙19∙23∙79∙197∙317∙577^3∙601∙1777∙5851∙62375569∙1372458809∙28337132099
590	3165543468483398501630510610081267284273069496168565464061205379001
	2^2∙5^2∙7∙11∙13∙19∙31∙59^3∙109∙197∙457∙691∙26777∙42961∙115837∙2820541∙5354461787∙212853870077
607	6259340651274424631996377544513876957254926911284559266739771952001
	2^6∙5^2∙7^2∙13∙19∙101∙607^3∙7369∙7507∙9463∙21817∙82507∙1349533∙6222409∙20093422320941
608	6511572861518305690060084589132279565647808013457133726616437227521
	2^14∙7∙13∙17∙19^3∙29∙43∙53∙59∙73∙79∙109∙607∙877∙4349∙9463∙30803∙1871932921∙134403854846383
610	7045568508394992390920879670577842335369688467408847844859226981001
	2^2∙5^2∙7∙13∙29∙47∙61^3∙233∙283∙439∙1103∙1597∙371491∙138458037901∙10602127057438363881233
620	10408797265827678962629642004067165052136642424379264680448238328001
	2^5∙3^2∙5^2∙7∙13∙19∙23∙31^3∙211∙269∙619∙709∙733∙1429∙2689∙4231∙6733∙9109∙201586597∙3694324265501
623	11687271193862305004894935307720225142844267396709103761460406914241
	2^5∙7^3∙11^2∙13∙23∙37∙61∙89^3∙311∙1049∙6373∙8263∙129169∙143669∙200797∙750229∙1980337∙2160923
635	18474360275197266902745971831842710971204033856389709125420398626001
	2^3∙5^2∙7∙13∙19∙23∙37∙53∙107∙127^3∙317∙619∙1009∙1811∙5449∙403861∙12506922877∙6084751077663151
668	62321098653003677807088604487344384916719133488400956579968721636801
	2^5∙5∙7^3∙13∙23∙29∙59∙167^3∙223∙433∙1373∙4549∙76261∙446893∙2610973∙98677971964769529001
678	89025137722422745176241840147349111244258951225709578455562760597081
	2^2∙3∙7∙11∙13∙89∙97∙113^3∙157∙613∙677∙751∙1033∙3929∙459007∙103532053∙700474826335450829669
716	329543338106682218194409507571867709934863290555632515534358750489281
	2^5∙7^2∙11∙13∙179^3∙239∙10477∙170647∙512657∙262815661681∙49455796643443582119677951
793	3824340004902451562831887540360602051932273303136835756132227957712801
	2^4∙3∙5∙7∙11∙13^3∙61^3∙181∙397∙12577∙29983∙628057∙395450435953∙685141243966348368378661
844	17069418239916831428708597384127618413479450961840637421793223513850561
	2^5∙7∙13^2∙19∙59∙211^3∙281∙757∙941∙2281∙33961∙37447∙210711271∙222455881∙17480032749181931
859	26051691856851743809424856254057131707221630950570440513046850064102481
	2^3∙7∙11∙13∙37∙43∙137∙211∙499∙859^3∙2693∙2833∙41243∙118423∙246247∙5194261∙52137735937625711
862	28325291012167715219031627599639892594945939790617124358590815177761401
	2^2∙5∙7∙13∙19∙31∙37∙41∙421∙431^3∙863∙1543∙148609∙552113642893∙52552742967199703889052787
879	45261923098522701774503634644679529628978588540840020344283132823912641
	2^5∙3∙7∙11∙13∙73∙97∙181∙293^3∙439∙1367∙29717∙110503∙465781∙771763∙229156067991812511395017
895	69783516138355291684174866759123610533415653062422380173481025679808001
	2^8∙5^2∙7∙13∙97∙149∙179^3∙4129∙267307∙800131∙838003∙1113421∙16793719∙23515567∙49356942277
915	118605890387413611880550711696606707653899318865942349924647433768014001
	2^3∙3∙5^2∙7∙13^2∙17∙37∙61^3∙229∙457∙2477∙3229∙838141∙700944863401∙26444838906907309349305147
958	357085502480122150782238430988891939096394793456559489088504108456771321
	2^2∙7∙11∙13∙19∙29∙73∙137∙173∙479^3∙661∙1061∙4931∙23557∙97171∙842289841933∙1418462659143870071
963	404604670305320040384072799328841445333146705386097753603519144709422961
	2^3∙3^4∙7∙13∙37∙59∙61∙107^3∙181∙241∙15187∙92737∙132619∙4748587∙860012334793∙14045642132301847
969	469646023700588007842763036260460783114691836747949974063749124953326561
	2^4∙3∙7∙11^2∙13∙17^3∙19^3∙29∙97∙16189∙133999∙939931∙67818986197∙753206386768311537646406009
974	531391943286853682262606913623487295330414671608967878481715377517455801
	2^2∙5∙7∙13∙29∙103∙139∙181∙487^3∙3067∙32713∙309173∙949651∙899985204301∙14097771834086655223
1009	1239903797429126693710488557844335206471983710351946456883607354898319681
	2^5∙3∙7∙13∙37∙83∙101∙727∙1009^3∙1399∙9181∙39157∙12958723∙21632647∙46587621023∙1036487904481
1035	2283328489273967468409268579146341221901388640956878419310867652657546001
	2^3∙3^4∙5^2∙7∙11∙13∙23^3∙37∙47∙67∙127∙409∙1069∙8443∙15973∙41201∙2624581∙1362897354486378207998812499

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

• Předchozí:Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 86, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 87, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 88, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 89
• následující: Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 91, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 92, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 93
• také: Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 45, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 126, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 180
• Délky period převrácených hodnot prvočísel/Délka l = 45 nebo 90

Repunity

• Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 83, Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 89
• následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 97, Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 101