Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 61

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 61: 111...11161. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
    1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
    2. V soustavách o základu 61n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 61.
    3. Kromě prvočísla 61, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 61) vyhovují vzorci 122n + 1 (p).
    4. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
    5. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 60; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně šedesát (protože 61 - 1 = 60) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 60.
    6. V šedesáti soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 122 (111...111)122.
  3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 61)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) (R = 61)
z p f k/122
2 2305843009213693951 3^2∙5^2∙7∙11∙13∙31∙41∙151∙331∙1321
19 56065687629692436349945381294682921858769274981456436532996640647681369599401 2^2∙3∙5^2∙7^3∙11∙13^2∙19∙31∙127∙151∙181∙211∙271∙769∙911∙2251∙
∙1081291∙2460181∙171434401∙16936647121∙1687178375041
69 217413056830109525893225879971494401116211707207353652378688651-
-472683845527821169829480608663693240736432822901
2∙3∙5^2∙7∙11∙13∙19^2∙23∙31∙101∙373∙571∙
631^2∙1601∙2381∙4831∙60757∙447961∙2090951∙
∙2292691∙4468661∙52078561∙
∙16333985898991∙589435727083004120126281
88 47198016584830708628909173786406734566114422840530103002949659651-
-0943367487295952103442941824530468373935096268264601
2^2∙3∙5^2∙7∙11∙13∙19∙31∙37∙71∙89∙373∙461∙
∙1549∙5701∙13691∙26821∙65921∙131581∙1620589∙1913641∙
∙3555482906449321∙3637207469722201∙
∙482285123620026767120916301

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

SledujteEditovat