Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 147

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorieEditovat

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 147: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 147: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111111111111111111111111111(z) * 100000000000000000000000000000000000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000001(z), které je dále dělitelné čísly 111(z) * g00g00gg0gg1(z), kde g = z - 1 (bez ohledu na to, zda tyto faktory jsou/nejsou prvočísla). Tento podíl je vždy ve tvaru ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001(z), kde g = z - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 147.
  3. V číselných soustavách, ve kterých 1/7(10) má délku periody l.p. = 3, je číslo ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001 navíc dělitelné 7(10) (sedmi).
    • Délky p.h. 1/7(10) l.p. = 3 jsou v soustavách 2, 4 a ve všech dalších, pro které platí z = 7n + 2 nebo z = 7n + 4.
    • Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 7) délku p.h. = l (v našem případě 3), má převrácená hodnota p2 délku periody l * p (v našem případě 3 * 7 = 21) a převrácená hodnota p3 má délku periody l * p2 (v našem případě 3 * 72 = 147).
    • Tvar výrazu ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001(z)/7(10)) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
  4. Zdaleka ne každé číslo ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001(z) je prvočíslo, tak jako tomu například není ani v desítkové soustavě (999999900000000000000999999900000000000000999999999999990000000999999999999990000001 = 63799 * 4715467 * 267652966241599 * 2603941883787374089 * 4769337181464959147997704753876850429427). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 294n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 147.
  5. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  6. Pokud číslo ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000gggggggggggggg0000001(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 147, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  7. Stejnou délku p.h. (t.j. 147) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z(n), kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani sedmi, natož jedenadvaceti či sto čtyřiceti sedmi. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě osmdesát čtyři z menších, než p.
  8. Pro odpovídající (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 294.

Tabulka nejmenších unikátních p (U147)Editovat

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U147 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 147
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/294 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/294)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p ggggggg00000000000000ggggggg00000000000000gggggggggggggg0000000ggg ggggggggggg0000001(z) nebo jejich sedmin* (U147)
z p(10)
  f k/294
2* 2741672362528725535068727*
  61∙337∙70687∙6417545220131
13 3725989158126343238165239463083874771558142749910424645682212062545533582110964106770045453129
  2^2∙3^3∙13^7∙29∙157∙463∙22079∙1673207∙5229043∙7875257869∙54165939703∙1808071332166044353∙5954296849278449467
17 22788167065691844663334028240545681325376655503778236000539461037982184161847400014391069405025195454369
  2^4∙3^2∙7∙11∙13∙17^7∙4591∙412193∙1130047∙22796593∙25646167∙88109799136087∙
∙966196911896028904379708534147757173872633163398143
23* 346768935551657470482396428389237590729935799402873431623125997943892997344190142357143139635167936294208886523367*
  43∙79∙12647∙85889∙170689∙408030421∙99943705892118021074882227∙
∙45921780328513928797170635907367406165421282409961467522853
120 4479449738824559911405432171622431829275668430844344515196980587638645440400088938538874924348546042514085930951926603576896048301464565609472464741466111999999641681920000001
  2^20∙3^6∙5^7∙11^2∙17∙29∙43∙113∙547∙14281∙47599∙120557∙950839∙1594111∙38571887∙89541469∙252172369∙903663853∙430153757503∙
∙38264469308463230429460319015951308411820085554542681592137520175423203884169

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

SledujteEditovat

RepunityEditovat