Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 29
Tato stránka není ještě hotová.
Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.
Drobečky teorie
editovat- V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 29: 11111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
- Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
- Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
- V soustavách o základu 29n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 29.
- Kromě prvočísla 29, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 29) vyhovují vzorci 58n + 1 (p).
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 28; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně osmadvacet (protože 29 - 1 = 28) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 29.
- Ve dvaceti osmi soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 58 (111...111)58.
- Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.
Tabulka nejmenších repunitových p (R = 29)
editovatlegenda:
- p - prvočíslo
- R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
- z - základ číselné soustavy
- f - w:faktor
- k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/58 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/58)
- ∙ - znak násobení
- ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
| z | p | f k/58 |
|---|---|---|
| 6 | 7369130657357778596659 | 3∙7^2∙37∙197∙421∙55987∙5030761 |
| 40 | 739052246542850625641025641025641025641025641 | 2^2∙5∙41∙211∙1601∙18938851∙53040821∙4201025641∙10900346689 |
| 65 | 586553146232068395470571577233998687006533145904541 | 2∙3∙5∙11∙13∙43∙701∙2113∙3571∙739649∙2464127∙6757241∙841565826 |
| 70 | 4666530080888666270779140579710144927536231884057971 | 5∙7∙13^2∙43∙71∙421∙20693∙5767847∙2697487717∙32870458491383551081 |
| 114 | 3955143501266376703851007034313765761094490771849224666991 | 3∙5∙19∙23∙41∙197∙317∙449∙757∙94925293∙5148759841∙11240594723 |
Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".