Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 31
Tato stránka není ještě hotová.
Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.
Drobečky teorie
editovat- V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 31: 1111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
- Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
- Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
- V soustavách o základu 31n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 31.
- Kromě prvočísla 31, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 31) vyhovují vzorci 62n + 1 (p).
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 30; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně třicet (protože 31 - 1 = 30) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 31.
- Ve třiceti soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 62 (111...111)62.
- Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.
Tabulka nejmenších repunitových p (R = 31)
editovatlegenda:
- p - prvočíslo
- R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
- z - základ číselné soustavy
- f - w:faktor
- k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/62 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/62)
- ∙ - znak násobení
- ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
| z | p | f k/62 |
|---|---|---|
| 2 | 2147483647 | 3^2∙7∙11∙151∙331 |
| 14 | 26063080998214179685167270877966651 | 3^2∙5^2∙7∙11∙61∙71∙101∙211∙811∙2851∙3761∙15511∙1948981 |
| 19 | 243270318891483838103593381595151809701 | 2∙3∙5^2∙7^3∙11∙19∙61∙127∙151∙211∙271∙911∙2251∙1081291∙2460181 |
| 31 | 568972471024107865287021434301977158534824481 | 2^4∙3∙5∙7^2∙11∙19∙41∙331∙2521∙17351∙21821∙327412201∙880374069121 |
| 44 | 20585646725737777436116973149348140195500598968701 | 2∙3^3∙5^2∙7∙11∙283∙421∙631∙1741∙391801∙413521∙1120771∙3835261∙35041021 |
| 53 | 5451909197716512648567801549394409749475252856973123 | 3^4∙7∙11∙53∙131∙409∙919∙2011∙3851∙5581∙5791∙353351281∙61085389 |
Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".