Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: 111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
   1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinou výjimkou je čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5.
   2. V soustavách o základu 3n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 3.
   3. Kromě trojky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 3) vyhovují vzorci 6n + 1 (p).
   4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
   5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci p - z_a - 1.
3. Faktory nebo repunitová prvočísla o délce R = 3_{z a} jsou zároveň kofaktory repunitu o délce R = 6 v následující (z_a + 1) soustavě. Toto pravidlo paltí pouze pro repunity R = 3 : R = 6 (t.j. neplatí pro repunity R = p : R = 2p pro p>3).
4. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinou známou výjimkou z tohoto pravidla je prvočíslo 8191, které je repunitovým prvočíslemem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslemem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 3)

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 3)

p	7	13	31	43	157	211	241	307	421	463	601	1123
z	2	3	5	6	12	14	15	17	20	21	24	33
f p/6	1	2	5	7	2∙13	5∙7	2^3∙5	3∙17	2∙5∙7	7∙11	2^2∙5^2	11∙17