Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Zajímavé úlohy

Pravidelný n-úhelník

Vypočtěte obsah pravidelného n-úhelníka, znáte-li délku strany a a hodnotu n.

Řešení

Pravidelný n-úhelník rozdělíme na n shodných rovnoramenných trojúhelníků o straně a a vnitřních úhlech při této straně $\alpha ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{n}}$.

Pro výšku tohoto trojúhelníku dostáváme $v_{a}={\frac {a}{2}}.\operatorname {tg} {\alpha }={\frac {a}{2}}.\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{n}}\right)$.

Pro $\phi =\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$ platí $\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\operatorname {cotg} {\phi }$, tedy $v_{a}={\frac {a}{2}}.\operatorname {cotg} {\frac {\pi }{n}}$.

Obsah jednoho rovnoramenného trojúhelníku je tedy $S_{1}={\frac {a}{2}}.{\frac {a}{2}}.\operatorname {cotg} {\frac {\pi }{n}}={\frac {a^{2}}{4}}.\operatorname {cotg} {\frac {\pi }{n}}$.

Obsah pravidelného n-úhelníka je $S=n.S_{1}=n.{\frac {a^{2}}{4}}.\operatorname {cotg} {\frac {\pi }{n}}$.

Zkouška správnosti výsledku pro některé hodnoty n

Pro $n=3$ dostáváme $S=3.{\frac {a^{2}}{4}}.\operatorname {cotg} {\frac {\pi }{3}}=3.{\frac {a^{2}}{4}}.{\frac {\sqrt {3}}{3}}=a^{2}.{\frac {\sqrt {3}}{4}}$, což je skutečně obsah rovnostranného trojúhelníka o straně a.

Pro $n=4$ dostáváme $S=4.{\frac {a^{2}}{4}}.\operatorname {cotg} {\frac {\pi }{4}}=4.{\frac {a^{2}}{4}}.1=a^{2}$, což je skutečně obsah čtverce o straně a.

Pro $n=6$ dostáváme $S=6.{\frac {a^{2}}{4}}.\operatorname {cotg} {\frac {\pi }{6}}=6.{\frac {a^{2}}{4}}.{\sqrt {3}}=3.a^{2}.{\frac {\sqrt {3}}{2}}$, což je skutečně šestinásobek obsahu rovnostranného trojúhelníka o straně a a též trojnásobek obsahu kosočtverce o straně a a vnitřním úhlu ${\frac {\pi }{3}}$.

n-cípá hvězda

Vypočtěte obsah n-cípé hvězdy (n > 4), znáte-li poloměr kružnice opsané r a hodnotu n. Za n-cípou hvězdu v této úloze považujeme mnohoúhelník s 2n vrcholy s těmito vlastnostmi:

• vrcholy leží střídavě na opsané kružnici (vrcholy cípů) a na vnitřní kružnici,
• je osově souměrný podle n os procházejících středem opsané kružnice (pro liché n procházejí vrcholy cípů, pro sudé n polovina z nich prochází vrcholy cípů, polovina vrcholy na vnitřní kružnici),
• ramena cípů směřují k jiným vnějším vrcholům.

Pro n = 5 splňuje toto upřesněné zadání jediný tvar hvězdy, pro n > 5 více tvarů hvězdy lišících se počtem „přeskočených“ vrcholů při konstrukci ramen cípů.

Řešení 1

Obr. 1

Obr. 2

Toto řešení bylo odvozeno z pěticípé hvězdy, mělo by platit i pro další liché hodnoty n, přičemž pro n > 5 jen pro ty tvary hvězdy, u kterých ramena cípů směřují vždy ke dvěma nejvzdálenějším, vůči sobě sousedním vnějším vrcholům (na obr. 1 jsou to ramena cípů směřující z vrcholu A k vrcholům C a D). Neboli z možných více tvarů hvězdy dle zadání je uvažován ten s nejmenším vnitřním úhlem při vnějších vrcholech.

Obrazec rozdělíme na 2n stejných (přesněji: n stejných a n k nim osově souměrných) trojúhelníků, viz obr. 1.

V trojúhelníku ASB (viz obr. 2) známe délku r nejdelší strany AS (je rovna zadanému poloměru kružnice). Velikost úhlu při vrcholu S je rovna ${\frac {\pi }{n}}$ (kružnice je rozdělena na 2n stejných úhlů), velikost úhlu při vrcholu A je rovna polovině velikosti úhlu při vrcholu S, tedy ${\frac {\pi }{2n}}$ (úhel CAD na obr. 1 je obvodovým úhlem ke středovému úhlu CSD). Velikost úhlu při vrcholu B dopočítáme jako $\pi -{\frac {3\pi }{2n}}$.

Pomocí sinové věty spočítáme délku strany AB:

$t=r.{\frac {\sin {\frac {\pi }{n}}}{\sin {(\pi -{\frac {3\pi }{2n}})}}}$,

a dále spočítáme výšku z vrcholu B:

$v=t.\sin {\frac {\pi }{2n}}=r.{\frac {\sin {\frac {\pi }{n}}.\sin {\frac {\pi }{2n}}}{\sin {(\pi -{\frac {3\pi }{2n}})}}}$.

Nyní již umíme vypočítat obsah jednoho trojúhelníka jako

$S_{1}=r^{2}.{\frac {\sin {\frac {\pi }{n}}.\sin {\frac {\pi }{2n}}}{2\sin {(\pi -{\frac {3\pi }{2n}})}}}$

a celého obrazce

$S=2n.S_{1}=nr^{2}.{\frac {\sin {\frac {\pi }{n}}.\sin {\frac {\pi }{2n}}}{\sin {(\pi -{\frac {3\pi }{2n}})}}}.$