Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Základní rovinné útvary

Trojúhelníky editovat

Obecný trojúhelník editovat

 , kde a je délka některé ze stran, va je výška z protilehlého vrcholu na tuto stranu. Lze odvodit jako polovinu obsahu kosodélníka (viz níže) se stejnou stranou a výškou.

V učivu základní školy se používá spíše označení z pro základnu (kteroukoli vybranou stranu) a v pro příslušnou výšku, tedy:

 .

Pravoúhlý trojúhelník editovat

Odvěsny jsou k sobě navzájem výškami (neboli  ,  ), tedy:

 , kde a, b jsou délky odvěsen. Lze odvodit jako polovinu obsahu obdélníka se stejnými délkami stran.

Rovnostranný trojúhelník editovat

Z délky strany lze podle Pythagorovy věty ( ) nebo pomocí goniometrických funkcí ( , kde   ) spočítat i výšku ( ). Tedy:

 .

Rovnoramenný trojúhelník editovat

Máme dánu délku základny a a velikost úhlu mezi ramenem a základnou α. Výšku tohoto trojúhelníku spočítáme pomocí goniometrických funkcí jako  . Tedy:

 .

Zvláštním případem rovnoramenného trojúhelníku pro   je rovnostranný trojúhelník, přitom  , po dosazení a úpravě skutečně dostáváme vzorec   v předchozí sekci.

Pokud použijeme  , máme pravoúhlý trojúhelník o přeponě a, přitom  , po dosazení dostáváme   a opravdu – tento trojúhelník je čtvrtinou čtverce o straně a, rozřezaného podél obou úhlopříček.

Čtyřúhelníky editovat

Obdélník a čtverec editovat

 , kde a, b jsou délky stran

Pro čtverec platí  , a tedy  .

Kosodélník a kosočtverec editovat

Kosodélník a kosočtverec (obecně rovnoběžník ležící na delší ze stran, kde a je tato delší strana a va příslušná výška) lze svisle rozříznout na pravoúhlý trojúhelník a pravoúhlý lichoběžník, jejichž složením vznikne obdélník o stranách a, va, tedy

 .

Pokud známe velikost vnitřního úhlu kosočtverce, umíme pomocí goniometrických funkcí spočítat výšku ( ), tedy

 .

Pro kosočtverec s vnitřními úhly   a   máme   a dostáváme tedy  , což je dvojnásobek plochy rovnostranného trojúhelníku, který vznikne rozpůlením kosočtverce po kratší úhlopříčce.

Lichoběžník editovat

Lichoběžník, jehož dvě rovnoběžné strany (základny) mají délky a1 a a2, můžeme po diagonále rozdělit na dva trojúhelníky o stranách (základnách) a1 a a2 a stejné výšce va. Obsah lichoběžníka je roven součtu jejich obsahů:

 .

Kruh editovat

  nebo  , kde r je poloměr a d je průměr kruhu ( ).