Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Soubor axiomů

Sherlock Holmes

Člověk není nic,práce je všechno.Gustav Flaubert k Georges Sandové.Řekl Sherlock Holmes v nejveselejší povídce Klub ryšavých.

Tvrzení

Úplný soubor funkcí vede k úplnému souboru axiomů-tvrzení,z nichž lze ryze formálně odvodit operace s prvky tvořícími logickou algebru.Těmi prvky jsou konstanty,proměnné a funkce.

Tento soubor axiomů musí být bezesporný(konzistentní),jeho tvrzení nesmí vést k protichůdným vlastnostem-výroku a jeho negaci.Dále soubor musí být úplný,tj.přidání jakéhokoliv výroku nebo negace vede ke sporu,porušení bezespornosti.

Dále je účelné,aby tvrzení souboru byla jednoduchá ,tj.nešla již rozložit na tvrzení jednodušší.Rovněž je účelné,aby tvrzení byla nezávislá.tj.aby nebylo možné odvodit je z tvrzení dalších.

Formální vyjádření

Soubor axiomů se vyjadřuje formálně ke vztahům mezi prvky logické algebry,nikoliv k prvkům samotným.

Konkretní interpretace

Existují-li konkretní prvky,pro něž,po zavedení vhodného zobrazení,platí soubor axiomů,říkáme,že jde o konkretní zobrazení(model)daného souboru axiomů.Tentýž soubor axiomů může mít mnoho konkretních interpretací v různých oborech.Vlastnosti,které byly odvozeny z formálně pojímaných axiomů platí v těchto jednotlivých interpretacích.

K prvkům a vztahům mezi prvky v jisté formálně zavedené algebře lze nají různé interpretace.Jednou z nich je třeba výrokový počet,který se zabývá výroky,jejich spojováním a vzájemnými vztahy.

Počet souborů

Víme však,že těch souborů je neomezený počet,neboť ke každému souboru funkcí lze přidat libovolný počet dalších funkcí,čímž dostáváme stále další úplné soubory funkcí.Zatím je deduktivně vybudováno jen několik logických algeber.Jsou to většinou algebry opírající se o funkce dvou nezávisle proměnných.Nejvýznačnější algebrou pro teorii logických sítí i pro mnohé jiné obory je algebra,která se opírá o tři operace:operaci negace,operaci logického součinu(konjunkci) a operaci logického součtu(disjunkci).Tato algebra je nazvána na počest významného irského matematika a logika George Boolea.

Booleova algebra není založena na minimálním úplném souboru funkcí.Jde však o logickou algebru,která velmi dobře vyhovuje našemu způsobu myšlení,neboť její základní funkce vyjadřují nejběžnější vztahy mezi výroky.