Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Složené funkce 8

Příklad

Dokažme,že funkce f má derivaci v bodě u0 právě tehdy,když existuje taková funkce omega,že lim omega(u)=omega (u0)=0,u v bodě u0,takové K patřící do R a takové okolí V bodu u0,že že pro všechna u patřící do V platí f(u) = f(u0) plus K(u-u0) plus omega(u). (u-u0).

Číslo K

Číslo K nemůže být nic jiného než derivace funkce f v bodě u0.Ve fyzice mohou být ale objekty,které mohou být něčím jiným.Třeba světlo může být vlna nebo částice.Nebo na Vesmír se můžeme dívat buď jako na makrokosmos nebo na mikrokosmos a v obou případech platí úplně jiné zákony.

Má-li f derivaci v bodě u0,položme

                 omega(u) = (f(u) - f(u0))/(u - u0) = f´(u0) pro u nerovnající se u0,omega (u0) = 0.
                 

Tedy má-li funkce f v bodě u0 derivaci,potom potom existuje funkce omega,pro níž platí lim omega (u)=omega (u0) = 0,pro u v bodě u0.

Platí ale i opačně.Existuje-li funkce omega,pak má funkce f v bodě u0 derivaci.Neboť

                 lim((f(u)-f(u0)/(u - u0),u v bodě u0 ,= K plus lim omega (u),u v bodě u0.lim omega(u)=0,u v bodě u0,proteže
                 lim((f(u)-f(u0))/(u - u0),u v bodě u0, = K plus f´u0) = K.

Platí také
                 f(u) - f(u0) = (omega (u) plus f´(u0)).(u - u0).
                 
 
 Jestliže se najde číslo K tak,aby existovala funkce omega,definovaná uvedeným způsobem,tak funkce f má v bodě u0 derivaci a je to právě to číslo K.
 
 [Matematika] [Filosofie]