Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Porovnání

Booleova algebra

Booleova algebra je každá množina prvků B,která obsahuje jednak dva význačné prvky 0 a 1 a jednak další prvky x,y,z..,v níž jsou definovány operace ,disjunkce, součtu(x plus y),konjunkce,součinu(x.y) a operace negace non x tak,že platí následující soubor axiomů-tvrzení:

    1         Jestliže x,y jsou libovolné dva prvky množiny B,tak prvky (x.y),( x plus y ) jsou také prvky množiny B (zákony vnitřní kompozice)

    2          Pro libovolný prvek x množiny B platí:( x plus 0) = x,(X.1) = x (pravidlo vyloučení třetího)

    3          Pro libovolné dva prvky x, y množiny B platí ( x plus y ) = ( y plus x) a ( x.y = (y.x ) (komutativní zákony )

    4          Pro libovolné tři prvky x,y,z množiny B platí x plus ( y.z) = ( x plus y ).(x plus z )

    5          Pro libovolné tři prvky x,y,z množiny B platí x.(y plus z) = (x.y) plus (x.z) (distributivní zákony)

    6          Ke každému prvku x množiny B existuje prvek non x tak,že platí x plus non x = 1 a x.nonx = 0

    7          Existují alespoň dva prvky x,y patřící do množiny B,že x se nerovná y

Tento soubor axiomů vypracoval Američan Hustingson.Je to pouze jeden z mnoha možných souboru axiomů Booleovy algebry.

Pomocí tohoto souboru axiomů dokažme rovnici (x plus 1) = 1

                                            ( x plus 1) =( x plus 1) .1         2
                                        ( x plus 1 ).1  =( x plus 1).(x plus non x)         6
                               S   ( x plus 1 ).( x plus non x) = x plus (1.nonx)           5,6
                                     x plus (1.nonx)     = x plus(nonx.1)                    3 
                                     x plus (nonx.1)      = x plus nonx                      2
                                     x plus non x         =  1                               6

Všimněme se,že rovnice S byla řešena v součinnosti axiomů 5 a 6 a přímo operací konjunkce a disjunkce.

Na základě dokázané rovnice dokažme ještě rovnici x plus x.y = x

                                    x plus x.y = x.1 plus x.y                                 2
                                    x.1 plus x.y =  x(1 plus y )                              5
                                    x(1 plus y)  =  x( y plus 1)                              3
                                    x(y plus 1)  =  x.1                                       použita dříve dokázaná rovnice
                                       x.1       = x                                          2

Pokračování v článku Porovnání 2

Matematika Filosofie