Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Konverze

Výroková operace dvou funkcí je definována např.pravdivostními hodnotami Vennova diagramu.

Jestliže jednotková pole Vennova diagramu pojmeme jako neprázdná a nulová pole tohoto diagramu pojmeme jako prázdná,přejdeme od jisté výrokové operace k její protější množinové operaci.

Každá výroková funkce dvou proměnných nebo její obměna mají protější množinovou operaci.Paralelně s tím platí,že každá výroková funkce dvou proměnných nebo jejich obměna jsou negovatelné podle De Morganových zákonů.

Tou negovatelnou obměnou u implikace A IMP B je výroková funkce NEG A ALT B,ALT je alternativa,NEG je negace funkce.Její protější množinovou funkcí je pak DOP A SJE B,A,B jsou množinové výroky DOP je doplněk do dané množiny,SJE je sjednocení.Negace výroku A má množinový protějšek doplněk množiny A do jisté dané množiny.

Výroková funkce ekvivalence A EKV B má negovatelnou obměnu (A KON B) ALT (NEG A KON NEG B),KON je konjunkce.A tedy množinový protějšek funkce A EKV B je množinová funkce (A PRU B) SJE (DOP A PRU DOP B),PRU je průnik.

Matematická věta

V matematických větách se přechází od výrokové funkce k její protější funkci množinové.

Uvažujme větu:Pro každé x patřící do nmožiny D platím implikace A(x) IMP B(x).A(x), B(x) jsou výrokové formy,A,B jsou jejich obory pravdivosti.Uvedená věta tvrdí,že obor pravdivosti P implikace je roven definičnímu oboru D uvedené věty,P=D.

Obor pravdivosti P implikace dostaneme,když jednotková pole implikace ve Vennově diagramu si představíme jako plná a její nulová pole si představímae jako prázdná.Z čehož plyne,že A INK B.Tedy že obor pravdivosti výrokové formy A(x) je inkluzní v oboru pravdivosti výrokové formy B(x).

Podoby Vennova Diagramu

Je tedy zřejmé,že Vennův diagram si lze představit ve dvou podobách:Jednak v podobě logické,kdy do jeho polí zaznamenáváme pravdivostní hodnoty nějaké výrokové funkce a jednak v podobě množinové,kdy jeho jednotlivá pole považujeme za prázdné resp,za obsazená.Tedy Vennův diagram múže popisovat buď funkci výrokovou nebo množinovou.

A je rovněž zřejmé,že od výrokové funklce přejdeme k její protější funkci množinové prostě tak že jednotková pole Vennova diagramu budeme považovat za plná a jeho nulová pole budeme považovat za prázdná.

Konverze matematických vět

Tedy v uvedené matematické větě bychom mohli jít také opačně.Od množinové funkce k její protější funkci výrokové.Prostě tak,že místo abychom si Vennúv diagram představili nejprve ve formě logické a pak jej konvertovali do podoby množinové ,uděláme to opačně.Nejprve si jej představíme v podobě množinové a potom jej budeme konvertovat do podoby logické.

U uvedené věty postupujme třěba takto:Jestliže pro každé x patřící do D platí x patří do (DOP A SJE B).(Přičemž A je obor pravdivosti výrokové formy A(x),B(x) je obor pravdivosti výrokové formy B(x))pak (DOP A SJE B)je množinový protějšek výrokové funkce A(X) IMP B(x),co by její obor pravdivosti P.V tom je také obsaženo,že A INLUZNI B,A,B jsou obory pravdivosti výrokových forem A(x),B(x).

Lemma

Z hlediska logiky lze v matematické větě buď konvergovat od výrokové funkce k jejímu množinovému protějšku a nebo naopak od množinové funkce k jejímu výrokovému protějšku.

Matematika Filosofie