Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Dualita obměn převracením

Dualitu obměn modelujme pomocí výrokových forem.

Dvě výrokové formy se rovnají,mají-li stejné pravdivostní ohodnocení na všech řádcích tabulky.

Obměna výrokové formy má s tou původní výrokovou formou rovněž stejné pravdivostní ohodnocení na všech řádcích tabulky.

Negace výrokové formy má s tou původní výrokovou formou opačné pravdivostní ohodnocení na všech řádcích tabulky.

Negace výrokové formy se provádí pomocí De Morganových zákonů.Podle nich lze negovat pouze výrokové formy,které obsahují pouze funkce konjunkce nebo disjunkce.

Výrokovou formu,která obsahuje i jiné funkce musíme nejprve obměnit na výrokovou formu negovatelnou,která tedy obsahuje pouze s konjunkcemi nebo disjunkcemi.

Jsou teda dva druhy výrokových funkcí:výrokové funkce negovatelné a výrokové funkce nenegovatelné.

Nenegovatelná výroková forma může mít celou skupinu nenegovatelných obměn,ale má pouze jednu obměnu negovatelnou.

Již staří antici si byli vědomi důležitosti výrokové funkce implikace.Svědčí o tom jejich epigram:I vrány na střeše krákají,která implikace je správná.Implikace je vlastně podmíněný slib.

Složenou výrokovou funkci implikaci lze zapsat takto:Jestliže platí výrok X,pak platí výrok Y.Výroky X a Y jsou nedelitelné,tzv.atomární výrok.Implikace patři mezi složené výroky,které se přirovnávají k molekulám.

V implikaci:Jestliže v něděli bylo hezky,Jirka přijel k Pavlovi na kole,výrok X je:V neděli bylo hezky.Výrok Y je :Jirka přijel k Pavlovi na kole.Jestliže v neděli nebylo hezky,tak slib nebyl porušen,resp.byl splněn ať Jirka přijel k Pavlovi nebo ne.Splnění slibu se projeví pravdivostí implikace.

POZOR:Neplatnost výroku X zajišťuje platnost implikace.

Implikace má tu zajímavou vlastnost,že její nenegovatelnou obměnu lze provést pouhým jejím převrácením.Znázorněme si to:používejme zkratky:negace = neg,konjunkce=kon,disjunkce=dis:

                 Nenegovatelná obměna                           Negovatelná obměna

X1 implikuje Y = neg Y implikuje neg X1 neg X1 dis Y

Tvorbu nenegovatelných obměn výrokových forem s implikací a konjunkcemi pro přirozené n větší než 1 lze duálně zobecnit.Záměnu Y za Xm,1 menší než m, to rovno nebo menší než n a jejich současné znegování nazvěme převrácením proměnných v implikaci.

Pak lze říci:Nenegovatelné obměny výrokových forem s implikací a konjunkcemi pro přirozené n větší než 1 lze tvořit převrácením duálně:Buď převrátíme celé tyto výrokové formy,přičemž toto převrácení provedeme tak,že obrátíme směr implikace,konjunkci zaměníme za disjunkci,resp.naopak a znegujeme všechny proměnné ve výrokové formě a nebo budeme postupně ve výrokové formě převracet proměnné,jak bylo výše popsáno.Znázorněme si to pro n = 2.

           Nenegovatelné obměny                              Společná negovatelná obměna

  (X1 kon X2) implikuje Y = (neg X1 dis X2) ejukilpmi neg Y 

  (neg Y kon X2)implikuje neg X1 = (Y dis neg  X2)ejukilpmi X1    neg X1 dis neg X2 dis Y

  (X1 kon neg Y) implikuje neg X2 = (neg X1 dis Y )ejukilpmi X2

U výrokové formy (X1 dis X2) implikuje Y,tedy u výrokové formy v níž "implikují"disjunkce nejsou nenegovatelné obměny duální.Tuto výrokovou formu lze nenegovatelně obměnit jenom jejím úplným převrácením a nikoliv převracením jejich proměnných.

Shrnutí

Výroková forma (X1 kon X2 kon ... kon Xn) implikuje Y,tedy výroková forma, v níž vlastně implikují konjunkce má včetně sebe sama 2(n plus 1) nenegovatelných duálně tvořených obměn a jednu společnou negovatelnou obměnu.Polovina těch nenegovatelných obměn vznikne převrácením celých výrokových forem a polovina těch obměn vznikne převracením proměnných v těch výrokových formách.

Výroková forma (X1 dis X2 dis... dis Xn) implikuje Y,kde vlastně implikují disjunkce má poze jedinou nenegovatelnou obměnu vzniklou převrácením sebe sama a jednu obměnu negovatelnou.

Dualita života

Musíme umět žít,jak se patří-je-li nám veselo,zpívat,tančit,pít,máme-li co...ale umřít musím také umět,umřít jako lidé.Zastřelíme-li zajíce, pláče jako malé dítě.Ale podťatý strom se kácí mlčky...

 z knížky Bouře od Ilji Erenburga 

Otec

Můj otec uměl umřít jako člověk.

Strom

Viděl jsem kácet se nádherný vysoký smrk s úžasně bohatými a těžkými větvemi,ale nekácel se úplně mlčky.Na pařezu na kterém rostl čtyřicet let a na kterém byl podťat nejprve zakolísal,jako by na něm zatančil krátký taneček na rozloučenou a pak teprve padl.

Matematika, filosofie