Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Dualita infinitezimálního počtu 2
Dualita limitního přechodu editovat
Zpřesněme představu jevu,že funkce f"má v bodě a limitu L":neboli,jestliže x se blíží k a,pak f(x) se blíží k l.
AŤ zvolíme jakkoli malé okolí U bodu L,vždy existuje takové okolí V bodu a,že body x z tohoto okolí,nejvýše s výjimkou bodu a se zobrazí do okolí U.
V bodě a funkce f vůbec nemusí být definována.
Dualita limitního přechodu
lim (x na druhou - 1)/(x - 1) = 2 v bodě 1
Může znamenat:
1. Ke každému okolí U bodu 2 existuje okolí V bodu 1,že pro každé x patřící do okolí V,nejvýše s výjimkou bodu 1 platí,že směrnice
(x na druhou - 1) / ( x - 1
sečný funkce
f: y = x na druhou
procházející bodem (1,1) leží v U okolí bodu 2.
2. Ke každému okolí U bodu 2 existuje okolí V bodu 1,takové,že pro každé x patřící do okolí V,nejvýše s výjimkou bodu 1, f(x) leží v okolí U bodu 2.Funkce f je:
f(x) = (x na druhou -1 ) / ( x - 1) = x plus 1,x se nerovná 1
==Spojitost v bodě==
Důležitý je zřejmě i ten případ,když žádáme,aby i obraz bodu a ležel v libovolném okolí bodu U L.To nastane tehde,když L = f(a).
==Nedualita limity==
Funkce má v bodě nejvýše jednu limitu.
Přesvědčme se o tom nepřímým důkazem:
Předpokládejme,že funkce f má v bodě a alespoň dvě limita L M.Nechť U1,resp U2 jsou dvě navzájem disjunktní okolí bodu L resp.L.Taková okolí exisují ať by L,M byla jakkoliv blízko.Stačí vzít poloměr menší než by byla vzdálenost mezi L a M.Potom existuje takové okolí V1 boddu a,,že pro všechna x nerovnající se a patřící do v1 platí:f(x) patří do U1.A takové okolí V2 bodu a,které má obdobné vlastnosti.
Označme znakem V průnik okolí V1,V2.Potom pro všechna x nerovnající se a patřící do V má f(x) patřit do U1 i do U2.Ale to není možné.Bod x leží před neřešitelnou otázkou.Mám se zobrazit do okolí limity L nebo do okolí limityM?roto jsme opráněni označít tuto jedinou limitu znakem
lim f(x) x v bodě a
==Harmonie duality==
Spočívá v nedualitě limity a v současné duality limitního přechodu.
[Matematika] [Filosofie]