Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Dualita duality 2

Lemma 3

Jednotkou kulové plochy o poloměru r obkroužené kolem náboje Q prochází celkový počet siločar rovný velikosti intenzity pole ve vzdálenosti r od náboje.

V elektřině se tedy kalkuluje s kulovou plochou kolem elektrického náboje.V kvantové teorii se naopak kalkuluje s tím,že žádná mikročástice není kulička.

Dvě vlastnosti

Elektrické pole má dvě důležité vlastnosti.Za prvé se dá popsat pomocí siločar jak co do směru,tak co do velikosti.Pole tohoto typu se nazývají " nezřídlová",(pole bez divergence).Přísně vzato nezřídlové pole je takové pole,v němž siločáry nikde nezačínají ani nekončí.Zároveň ale musíme toto tvrzení doplnit tím,že na kterémkoliv kladném(záporném)náboji velikosti Q musí začínat(končit) 4píQ siločar.Za druhé jsou síla elektrického pole konzervativní.Taková pole se někdy nazývají též "nevírová",protože se v nich nevykoná žádná práce přeneseme-li zkušební náboj po uzavřené dráze a vrátíme se zpět do výchozího bodu.

Snaha síly

Elektrická síla tedy nemá snahu uvést zkušební náboje do pohybu v kruhu.Nevírové pole je pole bez cirkulace.

Na této věci je důležité,že tato dvě tvrzení o poli,totiž,že je nezřídlové a nevírové mohou zcela nahradit Coulombův zákon.Víme-li kde siločáry začínají a kde končí a že znázorňují nevírové pole ,je celý jejich průběh dokonale určen.

Dvojí dualita

Coulombův zákon je duálně duální.Jednak má dvě podoby.Podobu newtonovskou a podobu grafickou.Ale i ta podoba grafická je duální.Spočívá v tom,že jeho grafická podoba odvisí od dvou základních vlastností elektrostatických polí,jejich nezřídlovosti a nevírovosti.

U kondenzátorů s rovnoběžnými elektrodami siločáry musí být rovné a stejně vzdálené.Vyplývá to z toho,že elektrostatické pole je nezřídlové a nevírové.Uvažujme,že náboje jsou pouze na elektrodách.Na horní elektrodě budou náboje kladné a potenciál bude V1.Záporné náboje budou na elektrodě spodní s potenciálem V2.Vzdálenost mezi elektrodami bude d.Plocha elektrod bude mnohem větší než vzdálenost mezi nimi.

Předpokládejme nyní,že siločáry vycházející z kladně nabité desky by se snažily ohnout:Uvažujme dvě blízké ohnuté siločáry.Kdybychom po ohnuté siločáře přenesli po určité dráze zkušební náboj z kladně nabité elektrody,tak pole při tom vykoná určitou práci.Při pohybu na druhou blízkou ohnutou siločáru kolmo k těmto siločarám ,tedy kolmo na směr intenzity elektrického pole,se nevykoná žádná práce,protože složka kolmá ke směru pole je rovna nule.

Když potom pohybujeme zkušebním nábojem zpět na kladnou elektrodu,pohybujeme se proti směru elektrického pole,ale po kratší dráze.Náš zkušební náboj nyní vykoná práci proti silám pole.Vzdálenost mezi siločarami při obou pohybech zůstává přibližně konstantní,tj.intenzita pole je konstantní.Na zpáteční dráze jsme ale prošli kratší vzdálenost.Práce vynaložená na vrácení je tedy menší než práce získaná při minulé cestě.Konečně když se vrátíme do výchozího bodu,pohybujeme se po konstantním potenciálu,takže se nekoná žádná práce.Zakřivené siločáry by proto nutně měly cirkulaci a tedy by nevyjadřovaly Coulombův zákon.

Takto se dají vyloučit i jiné možné tvary siločar.Siločáry musí tedy být všude rovné,kromě u samých konců desek.Jejich hustota musí být rovněž všude stejná,protože kdyby byla v jecnom bodě hustší než v druhém,existovala by cirkulace po uzavřené dráze,práce vynaložená by byla opšt menší než práce získaná.

Cirkulace

K cirkulaci dochází,je-li práce vynaložená menší než práce získaná při přenášení zkušebního náboje po uzavřené dráze.

Siločáry jsou tedy rovné a rovnoměrně rozložené u kondenzátoru s rovnoběžnými elektrodami.Intenzita pole je všude svislá a má stejnou velikost.V tomto případě je práce pří přechodu z horní na dolní desku rovna Ed,kde E je intenzita pole a ta musí být rovna

                                                E=(V2-V1)/d. 

Označme náboj na plošné jednotce desky kondenzátoru Q.Celkový počet siločar vycházejících z této plošné jednotky je 4píQ.Protože  jde o jednotku plochy,tak se tento počet zároveň rovná intenzitě pole E.Tedy 

                        E=4píQ,     Q=E/(4pí) a tedy   Q=(V2 - V1)/(4píd).

To je správný výsledek pro hustotu náboje(tj.náboje na plošnou jednotku)na desce uvedeného kondenzátoru.Dal by se získat i bez představy siločar a bez pravidel o nevírovém a nezřídlovém charaktreru pole.Vyžádalo by si to však poněkud více matematiky.

Věrní i po smrti

Jsem přesvědčený,že mi moje rodiče pomáhají i když už tady nejsou.

Fyzika Filosofie