Uživatel:Jakuba Škrdla/Úvahy/Cesty vývoje

Cesty vývoje jsou duální.

Dualita infinitezimálního počtu

Ve vědeckopopulárním pořadu Meteor na ČRO 2 jeden fyzik řekl: ,,Doba nazrála k objevu infinitezimálního počtu. Objevili jej nezávisle na sobě jak Isaac Newton tak Leibnitz. Každý z nich šel ale jinou cestou. Isaac Newton šel cestou fyzikální. Vycházel z přibližování průměrné rychlosti rychlosti okamžité. Leibnitz naopak šel cestou filosoficko matematickou a vycházel z přibližování sečny křivky k tečně křivky. Oba dva si ale svůj objev nechali v šuplíku. Isaac Newton si jej tam nechal 40 let. Leibnitz si jej tam nechal pouze 10 let a první s nim vyšel na veřejnost.

Bylo zjištěno, že věty i prvenství objevu infinitezimálního počtu Anglické královské vědecké společnosti si psal Isaac Newton sám, coby předseda této společnosti.

Zámek a klíč

Zámek může odemknout pouze klíč, který je ze stejného materiálu jako ten zámek. Mechanický zámek může odemknout pouze mechanický klíč. Magnetický zámek může odemknout pouze magnetický klíč atd.

Problémy teorie relativity, která obsahuje duality "odemyká" matematika. Tedy i ta musí obsahovat duality.

Duality algebry

S čísly i s algebraickými výrazy lze počítat, provádět s nimi operace: násobení,sčítání,mocnění a operace opačné. I s množinami lze počítat neboli s nimi provádět operace, ale jiné.

Počítání, resp. operace s množinami provádíme s množinami obsaženými v nějaké základní množině U. Tedy tyto operace provádíme v oboru všech podmnožin množiny U.

Jestliže množina A je inkluzní v množině U, pak existuje množina všech prvků množiny U, které nepatří do A. Tato množina se nazývá doplněk množiny A do množiny U.

V oboru všech podmnožin množiny U lze s jejími podmnožinami provádět operace průnik a sjednocení, které jsou jistou obdobou násobení a sčítání v číselné algebře. A pak lze tvořit doplňky podmnožin množiny U do množiny U. Tato operace nemá v číselné algebře vůbec obdobu.

Pro každé dvě podmnožiny A, B množiny U platí: Doplněk doplňku A v U je A. Obdobně pro B. Je-li A inkluzní v B, je doplněk B v U inkluzní v doplňku A v U.

Vytvořením doplňku podmnožiny A v množině U získáme vlastně druhou podmnožinu množiny U. Všechny prvky množiny U tak vlastně rozdělíme do dvou podmnožin, které namají společné prvky. Rozdělujeme-li prvky nějaké množiny U do její podmnožiny a do jejího doplňku v U, mluvíme o dichotomickém neboli dvojčlenném třídění prvků množiny U. Toto třídění je mimo jiné důležitým nástrojem systematizace pojmů.

Tutéž množinu U lze dichotomicky třídit podle několika hledisek. Získáme tím pole množiny U, která nemají společné prvky. Množinu U jako rámec úvah znázorňujeme obdelníkem. Jednotlivá dichotomická třídění v něm znázorňujeme vhodně zvolenými čarami. Dostáváme tak (číselný)Vennův diagram.

Vícenásobné dichotomické třídění znázorňujeme také tabulkou nebo stromem. Každé znázornění má své výhody i nevýhody.

Lze také tvořit doplňky množinových operací, průniku a sjednocení. Vyplývá to z De Morganových zákonů pro operace s množinami.

Doplněk průniku podmnožin A, B množiny U je sjednocení doplňků podmnožin A, B do množiny U.

Doplněk sjednocení podmnožin A, B množiny U je průnik doplňků podmnožin A, B do množiny U.

Obě tyto úvahy naznačují dualitu množinové algebry. Obě tyto úvahy totiž tvoří protilehlé duální rovnice. Jestliže totiž máme jednu z těchto rovnic, tak druhou rovnici snadno získáme tak, že ve výrazech první rovnice zaměníme množinové operace. Průnik zaměníme za sjednocení a sjednocení zaměníme za průnik.

Tuto dualitu množinové algebry dovedla Booleova algebra do dokonalosti, a tak se stala vůdčí logickou algebrou mezi dosud pouze několika vybudovanými množinovými algebrami.

Logické algebry

Logické algebry mají více funkcí. Základních funkcí je pět: negace, konjunkce (součin), disjunkce (součet), implikaci a ekvivalenci.

Nezávisle proměnnou je zde nedělitelný výrok, který se srovnává s atomem. Výroky nejsou tak speciálním matematickým pojmem jako množiny. I v běžném hovoru nazýváme některá smysluplná sdělení výroky. Operace s výroky spočívá ve vytváření nových výroků z výroků daných.

Počítání, resp., provádění operací s výroky spočívá ve spojování nedělitelných výroků ve složené výroky srovnávané s molekulami, pomocí logických spojek. Zápisy složených výroků se nazývají výrokovými formami.

Booleova algebra

Základní rovnosti Booleovy algebry jsou většinou uspořádány po dvojicích,přičemž výrazy v rovnostech na pravé straně se získají z příslušných výrazů na levé straně a naopak pouze tím,že prvek 0 se nahradí prvkem 1, prvkem 1 se nahradí prvkem 0 , logický součin se nahradí logickým součtem a logický součet logickým součinem.Říkáme,že jde o dvojice duálních výrazů,např.:

Pravidla o vytvoření negace(De Morganovy zákony)

             negace(x plus y) = negace x krát negace y        negace(x krát y) = negace x plus negace y 

V Booleově algebře platí princip duality zcela obecně:každé rovnosti dvou výrazů přísluší i rovnost výrazů,které jsou k nim duální ve smyslu uvedené transformace,tj.

                                   0 implikuje 1
                                   1 implikuje 0
                                 plus implikuje krát
                                 krát implikuje plus

Princip duality lze velmi výhodně využít při odvozování nových pravidel Booleovy algebry.Při odvozování jakékoliv rovnosti Booleovy algebry získáme totiž i rovnost mezi odpovídajícími duálními výrazy.Obdobné transformace platí i mezi matematikou a fyzikou.Cesta fyzikální i cesta matematická mohou vést ke společnému cíli jako tomu bylo při objevu infinitezimálního počtu.

Výhoda za minimalizaci

Booleova algebra není založena na minimálním úplném souboru funkcí. Booleova algebra je nejvýznačnější algebrou pro teorii logických sítí i pro jiné obory. Je to algebra, která se opírá o tři operace: operaci negace, operaci logického součinu (konjunkci) a operaci logického součtu (disjunkci). Tyto operace vytvářejí funkce negace logického součinu a logického součtu.

Z tohoto souboru lze vyloučit buď logický součin nebo logický součet. Jde však o logickou algebru, která velmi dobře vyhovuje našemu způsobu myšlení. Booleova algebra sice není založena na úplném minimálním souboru funkcí, ale je založena na na souboru funkcí, který dobře vyhovuje našemu způsobu myšlení, které odráží dualitu reality a Booleova algebra toho šikovně využila.