Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Zajímavé úlohy: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→n-cípá hvězda: +obr. |
→n-cípá hvězda: řešení, ještě to po sobě musím zkontrolovat a zkusit spočítat pro n=4, 6 a také 3 |
||
Řádek 23:
Vypočtěte obsah n-cípé hvězdy (n > 3), znáte-li poloměr kružnice opsané ''r'' a hodnotu ''n''.
=== Řešení ===
[[Soubor:Výpočet obsahu n-cípé hvězdy 1.png|thumb|right|Obr. 1]]
[[Soubor:Výpočet obsahu n-cípé hvězdy 2.png|thumb|right|Obr. 2]]
Obrazec rozdělíme na ''2n'' stejných (přesněji: ''n'' stejných a ''n'' k nim osově souměrných) trojúhelníků, viz obr. 1.
V trojúhelníku ASB (viz obr. 2) známe délku ''r'' nejdelší strany AS (je rovna zadanému poloměru kružnice). Velikost úhlu při vrcholu S je rovna <math>\frac{\pi}{n}</math> (kružnice je rozdělena na ''2n'' stejných úhlů), velikost úhlu při vrcholu A je rovna polovině velikosti úhlu při vrcholu S, tedy <math>\frac{\pi}{2n}</math> (úhel CAD na obr. 1 je obvodovým úhlem ke středovému úhlu CSD). Velikost úhlu při vrcholu B dopočítáme jako <math>\pi - \frac{3\pi}{2n}</math>.
Pomocí sinové věty spočítáme délku strany AB:
<math>t = r.\frac{\sin{\frac{\pi}{n}}}{\sin{(\pi - \frac{3\pi}{2n})}}</math>,
a dále spočítáme výšku z vrcholu B:
<math>v = t.\sin{\frac{\pi}{2n}} = r.\frac{\sin{\frac{\pi}{n}}.\sin{\frac{\pi}{2n}}}{\sin{(\pi - \frac{3\pi}{2n})}}</math>.
Nyní již umíme vypočítat obsah jednoho trojúhelníka jako
<math>S_1 = r^2.\frac{\sin{\frac{\pi}{n}}.\sin{\frac{\pi}{2n}}}{2\sin{(\pi - \frac{3\pi}{2n})}}</math>
a celého obrazce
<math>S = 2n.S_1 = nr^2.\frac{\sin{\frac{\pi}{n}}.\sin{\frac{\pi}{2n}}}{\sin{(\pi - \frac{3\pi}{2n})}}.</math>
[[Kategorie:Geometrie]]
| |||