EIMK

Excentrický Integrační Momentový Konvertor (dále jen EIMK) je stroj vytvořený kombinací principů dvou jednoduchých strojů.

Obecný popis

EIMK je stroj složený ze dvou jednoduchých strojů: Páky a virtuálního kola. Provádí mechanickou integraci úhlu α podle času t na úhlovou rychlost ω_α. Mechanický krouticí moment M_A je úměrný Σ velikosti sil, kterými jsou předstlačeny pružiny uvnitř jednotlivých Excentrických Momentových Převodových Článků se Souhlasným Otáčením Ramen (EMPČseSOR).

Využívá nelineárního průběhu funkcí sinus a cosinus ke změně délky ramene b є <a-c, a+c>, na které působí obvodová složka síly (F_CMB), jíž se projevuje kroutící moment v ose B přes rameno a. Tato síla působí v bodě C pod úhlem (π/2 + γ) na rameno b, čímž vzniká kroutící moment M_A.

sin(π/2 + γ) = cos(γ) pro γ є <-π/3, π/3>.

Tento moment M_B vzniká působením síly F_C na rameno a pevné délky.

Síla F_C působí v ideálním případě kolmo k rovině v níž leží obě rovnoběžné osy A a B.

Viz. obr.: Trojúhelník ABC

Virtuální kolo

Pod pojmem virtuální kolo je zde chápán jednoduchý stroj, jehož hlavní funkcí je udržovat konstantní vzdálenost bodu C od osy otáčení B uvnitř každého jednoho EMP, což se děje kompenzací příslušné radiální složky síly F_C procházející osou B. Zbylá kolmá (obvodová) složka F_CMB pak koná práci proti setrvačným silám.

Neboli bod C opisuje trajektorii ve tvaru kružnice kolem osy B o poloměru a.

U statických konstrukcí se používá pro obdobný účel (= udržování vzdálenosti) distanční rozpěrka.

Součásti EIMK

Základním dílem EIMK je EMPČseSOR.

Jelikož je principiálně nemožné, aby EMPČseSOR měl výsledný kroutící moment ΣM_A různý od nuly po celou dobu otáčky (pro všechny úhly α є <0, 2π>, α' = [α ± π] є <0, 2π>), je nutné, aby současně pracovalo 2n EMP = n EMPČseSOR spojených tak, aby se jejich fáze lišily o úhel Δα = π / n [rad].

EMPČseSOR

Excentrický Momentový Převodový Článek se Souhlasný Otáčením Rotorů je tvořen dvěma Excentrickými Momentovými Převody, které se otáčejí synchronně stejným směrem. Jejich fáze je opačná :

α' = [(α + π) MOD 2π]

Body C obou EMP jsou propojeny tlačnou pružinou udržující předpětí potřebné pro správnou funkci EMPČseSOR.

Vzdálenost os |A-A'| a |B-B'| je v ideálním případě shodná a rovná se minimální pracovní délce stlačené pružiny C-C'. Za ideální je považováno nastavování excentricity c=|AB|=|A'B'| po kruhové dráze procházející body A, A', B, a B' o průměru d = |A-A'| = |B-B'|.

EMP

Excentrický Momentový Převod je rotační stroj využívající změnu aktivní délky ramene pákového převodu (určeného dráhou "ojničního čepu") v závislosti na posunu osy, kolem níž dochází k otáčení kliky 'virtuálního kola', od osy výstupní neboli v závislosti na excentricitě převodu: |c| < |a|, a úhlu φ = -(π/2 - α) mezi směrem působení síly pružiny a ramenem b.

Integrace

Integrací je myšlena inverzní matematická funkce k funkci derivace.

Integrovat je možno každou smysluplnou funkci, která je výsledkem derivace původní funkce.

Původní funkce a funkce po integrování podle stejné proměnné se liší nejvýše o konstantu.

Derivační úhlový konvertor

Příkladem Derivačního Úhlového Konvertoru je mechanický tachometr používaný ve starších automobilech, kde je mechanicky derivována úhlová rychlost otáčení bowdenu (úhel otočení za čas) na úhel otočení osy ručičky udávající aktuální rychlost vozidla.

Fyzikální vztahy

Použité symboly

• a = d|BC| [m]
• b = d|AC| [m]
• c = vzdálenost os A a B [m]
• d = vzdálenost os A a A' = vzdálenost os B a B'
• f_A - frekvence otáčení osy A [Hz]
• n_A - otáčky osy A [ot./min.]
• F_C - síla působící v bodě C kolmo k c [N]
• M_A - kroutící moment v ose A [Nm]
• M_B - kroutící moment v ose B [Nm]
• P_A - výkon přenášený osou A [W]
• W_A - energie ~ mechanická práce 1 otáčky bodu C kolem osy A [J]

• α - úhel svíraný ramenem b a vzdáleností c os A a B [rad]
• β - úhel svíraný ramenem a a vzdáleností c [rad]
• γ - úhel svíraný rameny a a b [rad]
• δ - řídící úhel EIMK [rad]

Výpočty

Krouticí moment v ose B vyvolaný silou F_C působící v bodě C na rameno a:

M_B = F_C • a • (-cos(β)) [Nm; N, m, rad]

Obvodová síla (F_CMB), kterou působí kroutící moment M_B přes rameno a v bodě C.

F_CMB = M_B / a [N; Nm, m]

Řídící úhel δ určuje velikost excentricity c :

c = sin( δ / 2 ) • d [m; rad, m]

Úhel svíraný rameny a a b vypočtený podle Sinové věty :

γ = arcsin(sin(α) • c / a) [rad; rad, m, m]

Moment v ose A:

M_A = F_CMB • b • cos(γ) [Nm; N, m, rad]

Moment potřebný pro zvýšení potenciálu bodu C proti směru působení síly F_C:

M_B < 0 : M_A = {M_B • b / (a • cos(γ))} ≤ 0 [Nm; Nm, m, m, rad]

|b| < (|a|² + |c|²)^1/2

Kroutící moment vzniklý při využívání potenciálu bodu C pohybem ve směru působení síly F_C:

M_B > 0 : M_A = {M_B • cos(γ) • b / a} ≥ 0 [Nm; Nm, rad, m, m]

|b| > (|a|² + |c|²)^1/2

'Mrtvý bod' F_C působí přes osu B:

M_B = 0 : M_A = 0 <=> b = (a² + c²)^1/2

Celkový kroutící moment EMPČseSOR:

Pro n ≥ 2 platí: ΣM_A = Σ_(i=1..n) F_Ci • [b_i • cos(α_i) • cos(γ_i) - b'_i • cos(α'_i) • cos(γ'_i)]

b = ( (a • sin(β) )² + (c + a • cos(β) )² )^1/2 [m; m, rad, m]

b' = ( (a • sin(β') )² + (c + a • cos(β') )² )^1/2 [m; m, rad, m]

Integrací diferenciální rovnice :

dW_A = ΣM_A • dα [J; Nm, rad]

vypočteme energii W_A ~ mechanickou práci vykonanou za jednu otáčku α є <0, 2π> a z ní potom výkon jednoho EMPČseSOR z EIMK :

P_A = W_A • f_A [W; J, Hz]

Kde frekvence osy A odpovídá jejím otáčkám, po úpravě jednotek:

f_A = n_A / 60 [Hz; ot./min.]

Vypočtený výkon jednoho článku vynásobíme jejich počtem (n) a získáme celkový maximální teoretický výkon EIMK:

Pn = n • P_A [W; -, W]

Teoretického maximálního výkonu EIMK však nelze dosáhnout vlivem setrvačnosti a hybnosti. Projevuje se zde závislost úhlové rychlosti ω_β na okamžité hodnotě úhlu α, která roste pro zmenšující se úhel α є (π, 0) a klesá pro rostoucí úhel α є (0, π).

β = π - α - γ [rad; rad, rad]

Zdroje

• Učebnice Fyzika pro 7. třídy ZŠ
• Rozum do kapsy Malá encyklopedie /(C) Albatros, 1986/
• Bartsch, Hans-Jochen Matematické vzorce ISBN 80-204-0607-7 dotisk 3. vydání. Praha 2000, Mladá fronta
• Feynman, Leighton, Sands : Feynmanovy Přednášky z fyziky s řešenými příklady 1/3, ISBN 978-80-7200-405-8 1. vydání, 2000 Fragment
• Jaromír Kuben, Petra Šarmanová, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, VŠB-TU Ostrava 2006, ISBN 80-248-1192-8
• Šárka Hošková, Jaromír Kuben, Pavlína Račková, Integrální počet funkcí jedné proměnné, VŠB-TU Ostrava 2006, ISBN 80-248-1191-X
• Wikipedie