Analytická geometrie (přednáška)

Analytická geometrie
přednáška v předmětu Vybrané kapitoly z matematiky
pro bakalářský studijní obor Radiologická asistence
na 2. lékařské fakultě Univerzity Karlovy
Ústav biofyziky

Přednášející: Petr Heřman / Gracian Tejral

[ Skin: minerva | vector-2022 | vector | monobook | timeless | cologneblue | modern ]

Labyrint (1623)

Οὐδεὶς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω

MEZI GEOMETRY. I přijdeme k jinému auditorium, nad nímž Οὐδεὶς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω napsáno bylo; a já zastavě se: „Budem-liž tam moci?“ řekl sem, „poněvadž tam geometry toliko pouštějí?“ „Poď předce,“ řekl Všudybud. I vejdem: a aj, tu jich množství, kteříž čáry, háky, kříže, kola, quadráty, puňkty psali, každý sobě sám tiše. Pak jeden k druhému přicházel a ukazovali sobě: některý pravil, že jinak býti má, a tento, že dobře; tož se vadili. Vynalezl-li kdo novou nějakou čáru neb kliku, výskal radostí, a svolaje jiné ukazoval; kteříž ckali, prsty a hlavami točili, a v svůj kout každý běže, také sobě takovou dělal; jeden trefil, jiný ne; takže všecka ta síň po zemi, po stěnách, po stropě plná byla čar, a nedali sobě na ně šlapati, ani se jich dotýkati.

J. A. Komenský: Labirynt Světa a Lusthauz Srdce, 1631, XI. kapitola

Platón (427–347 př. n. l.)

w: Platónská akademie na mozaice z Pompejí

BcA. Libor Hošek: NEVSTUPUJ, KDO NEZNÁŠ GEOMETRII – diplomová práce

Pýthagorás ze Sámu 570–510 př. n. l.

• Škola v Kalábrii

Athénská škola – Pýthagorás ze Sámu na detailu Raffaelovy fresky z papežského paláce

Pytagorova věta

Pythagorejské ladění a pythagorejcké comma

Eukleidés z Alexandrie 450–368 př. n. l.

Athénská škola – Eukleidés z Alexandrie na detailu Raffaelovy fresky z papežského paláce

• w: Eukleidés

(Neplést s Eukleidés z Megary – filosof)

Στοιχεῖα

(Základy – 4. stol. př. n. l.) – syntetické dílo

Axiomy

1. Lze vytvořit úsečku, která spojuje dva dané body.
2. Danou úsečku lze na obou stranách libovolně prodloužit.
3. Lze vytvořit kruh o daném středu, na jehož obvodě leží daný bod.
4. Všechny pravé úhly jsou si rovny.
5. Jestliže úsečka protíná dvě úsečky tak, že na jedné straně je součet vnitřních přilehlých úhlů menší než dva pravé úhly, pak lze na této straně úsečky prodloužit tak, aby se tato jejich prodloužení proťala.

⇒ Eukleidovská geometrie – známe ze základní a střední školy

• Petr Vopěnka: Rozpravy s geometrií, Panorama, 1989

Eukleidovský prostor E_n

• Dimenze: 0D, 1D, 2D, 3D, 4D, 5D, ...
• Metrika: – můžeme v něm měřit: lze v něm zavést veličinu, kterou nazýváme metrika čili vzdálenost (každé dva body v prostoru mají mezi sebou určitou vzdálenost)

Analytická geometrie

René Descartes / Jan Lievens, c. 1644–49, Groninger Museum

Pierre de Fermat / Musée d'art et d'histoire de Narbonne

• René Descartes (1596–1650) (lat. Renatus Cartesius)
• Pierre de Fermat (1607–1665)

Do té doby tradičně: matematika: geometrie × aritmetika

I když i geometrické objekty uměli počítat, geometrie i aritmetika (později algebra) pracovaly s jinými objekty.

Soustava souřadnic a bod v prostoru

Kartézský systém v rovině

Kartézský systém v 3D – pravotočivý

Kartézský systém v 3D – pravotočivý

• Ortogonální (pravoúhlá)
• Ortonormální (kartézská) – jednotky na všech osách mají stejnou délku – kružnice, čtverec, koule, krychle atd. se zobrazí jako kružnice, čtverec, koule, krychle, atd.

Vzdálenost bodu od počátku

Příklad: Spočtěme vzdálenost bodu (0.6, 0.8) od počátku souřadnic (0, 0)

• WolframAlpha: distance between (0,0) and (0.6, 0.8)

Stejně tak:

• distance between (0,0) and (0.8, 0.6)
• distance between (0,0) and (1, 0)
• distance between (-0.6, 0.8) and (0, 0)
• distance between (0, -1) and (0, 0)
• atd.

Všechny tyto body leží na jednotkové kružnici.

Obecně 2D:

počátek (origin) $O\equiv (0,0)$

$A\equiv (x_{A},y_{A})$

$dist(A,O)={\sqrt {x_{A}^{2}+y_{A}^{2}}}$

Obecně 3D:

počátek (origin) $O\equiv (0,0,0)$

$A\equiv (x_{A},y_{A},z_{A})$

$dist(A,O)={\sqrt {x_{A}^{2}+y_{A}^{2}+z_{A}^{2}}}$

Vzdálenost dvou libovolných bodů

• distance between (1, 1) and (4, 5)
• distance between (-2, -4) and (4, 4)

Obecně 2D:

$A\equiv (x_{A},y_{A})$

$B\equiv (x_{B},y_{B})$

$dist(A,B)={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}$

Obecně 3D:

$A\equiv (x_{A},y_{A},z_{A})$

$B\equiv (x_{B},y_{B},z_{B})$

$dist(A,B)={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}+(z_{A}-z_{B})^{2}}}$

Polohový vektor

Polohový vektor nějakého bodu je vektor, směřující od počátku souřadnic do tohoto bodu:

• vector (0.8, 0.6)
• vector (0, -1)

Délka neboli absolutní hodnota tohoto vektoru je stejná, jako vzdálenost mezi jeho dvěma koncovými body:

• length of vector (0.8, -0.6)

$|(u_{x},u_{y})|={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}$

$|(u_{x},u_{y},u_{z})|={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}$

Polohový vektor je vázaný k počátku souřadnic.

Jinou možností, jak definovat takový vektor, je udat jeho délku a směr, vyjádřený například úhlem, který svírá s osou x:

• direction of vector (0.8, -0.6)
• polar coordinates of vector (0.8, -0.6)

Takovému vyjádření říkáme polární souřadnice.

Vázaný vektor

Vázaný vektor je takový vektor, jehož počátek je vázaný k nějakému obecnému bodu, dejme tomu $A$, a směřuje do bodu $B$. Jedná se tedy o orientovanou úsečku, směřující od bodu $A$ do bodu $B$. Takový vektor můžeme zapsat například jako:

${\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {AB}}$

Jeho velikost neboli délku neboli absolutní hodnotu (délka je vždy nezáporná) pak můžeme vypočítat stejně, jako vzdálenost obou bodů $A$ a $B$:

$|{\overrightarrow {u}}|=|{\overrightarrow {AB}}|={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}$

Volný vektor

Volný vektor je takový vektor, jehož počátek není vázaný k žádnému bodu, můžeme jím tedy volně pohybovat prostorem – musíme pouze zachovat jeho směr a jeho velikost. Například jeho počátek můžeme přesunout do počátku souřadnic anebo do jiného bodu.

Dva vektory, které mají stejnou velikost a směr, tedy v takovém případě můžeme považovat za totožné.

Operace s vektory

• absolutní hodnota = velikost = délka
• opačný vektor
• součet, rozdíl
• násobení vektoru číslem
• skalární součin
• vektorový součin

Součet vektorů

Dva vektory ${\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {(u_{x},u_{y})}}$ a ${\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {(v_{x},v_{y})}}$, definované v kartézských souřadnicích, sečteme tak, že sečteme jejich složky:

${\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {(u_{x},u_{y})}}+{\overrightarrow {(v_{x},v_{y})}}={\overrightarrow {(u_{x}+v_{x},u_{y}+v_{y})}}$

• (1, 2) + (2, 1)

Opačný vektor

Opačný vektor (značíme znaménkem minus) je takový vektor, který získáme z původního vektoru vynásobením jeho složek -1 (tj. udělíme jim opačná znaménka):

${\overrightarrow {-u}}={\overrightarrow {(-u_{x},-u_{y})}}$

V polárních souřadnicích je délka opačného vektoru stejná jako původního vektoru, ale jeho směr je opačný.

Rozdíl vektorů

Od vektoru ${\overrightarrow {u}}$ odečteme vektor ${\overrightarrow {v}}$, že k němu přičteme opačný vektor. V kartézských souřadnicích to uděláme tak, že prostě odečteme příslušné složky obou vektorů:

${\overrightarrow {u}}-{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {(u_{x},u_{y})}}-{\overrightarrow {(v_{x},v_{y})}}={\overrightarrow {(u_{x}-v_{x},u_{y}-v_{y})}}$

Násobení vektoru skalárem

Vektor ${\overrightarrow {u}}$ vynásobíme skalárem $a$ tak, že tímto skalárem vynásobíme všechny složky vektoru:

$a\cdot {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {(a\cdot u_{x},a\cdot u_{y})}}$

• vector 3 *(2, 1)

V polárních souřadnicích vynásobíme skalárem délku vektoru, přičemž jeho směr zůstane stejný.

Dělení vektoru skalárem

Vektor ${\overrightarrow {u}}$ vydělíme skalárem $a$ tak, že tímto skalárem vydělíme všechny složky vektoru:

${\frac {\overrightarrow {u}}{a}}={\overrightarrow {({\frac {u_{x}}{a}},{\frac {u_{y}}{a}})}}$

V polárních souřadnicích vydělíme skalárem délku vektoru, přičemž jeho směr zůstane stejný.

Normalizovaný vektor

Normalizovaný neboli jednotkový vektor je takový vektor, který má délku 1. Vypočteme jej tak, že vektor ${\overrightarrow {u}}$ vydělíme jeho délkou $|{\overrightarrow {u}}|$, tj.

${\frac {\overrightarrow {u}}{|{\overrightarrow {u}}|}}$

Takto normalizovaný vektor má stejný směr, jako původní, ale má jednotkovou délku.

Skalární součin

• w: Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů ${\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {(u_{x},u_{y})}}$ a ${\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {(v_{x},v_{y})}}$ získáme tak, že vynásobíme a sečteme jejich jednotlivé složky:

${\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {(u_{x},u_{y})}}\cdot {\overrightarrow {(v_{x},v_{y})}}=(u_{x}\cdot v_{x}+u_{y}\cdot v_{y})$

Vidíme, že výsledkem skalárního součinu dvou vektorů není vektor, ale skalár.

V polárních souřadnicích vytvoříme skalární součin tak, že vynásobíme délky obou vektorů a jejich součin ještě vynásobíme cosinem úhlu $\alpha$, který svírají:

${\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}=|{\overrightarrow {u}}|\cdot |{\overrightarrow {v}}|\cdot \cos(\alpha )$

• dot product calculator

Vektorový součin

• w: Vektorový součin

Ve 2D prostoru nefunguje, musíme mít 3D prostor.

V kartézských souřadnicích definujeme vektorový součin vektorů ${\overrightarrow {u}}$ ${\overrightarrow {v}}$ následovně:

${\overrightarrow {u}}\times {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {(u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y},u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z},u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x})}}$

Přehledně můžeme vektorový součin spočítat jako determinant matice:

${\overrightarrow {u}}\times {\overrightarrow {v}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}$

kde ${\overrightarrow {i}}$, ${\overrightarrow {j}}$ a ${\overrightarrow {k}}$ jsou jednotkové vektory ve směrech os x, y, z.

V polárních souřadnicích je velikost vektorového součinu rovna součinu velikostí obou vektorů, násobená sinem úhlu, který spolu svírají:

$|{\overrightarrow {u}}\times {\overrightarrow {v}}|=|{\overrightarrow {u}}|\cdot |{\overrightarrow {v}}|\cdot \sin(\alpha )$

přičemž výsledný vektor je kolmý na rovinu, ve které leží oba vektory.

Přímka v rovině

Rovnice přímky, procházející počátkem

$ax+by=0$

• line 2x + 3y = 0

Vyjádříme si $y$ jako funkci $x$:

$y=-{\frac {a}{b}}\cdot x$

Poměr $-{\frac {a}{b}}$ nazýváme směrnice přímky, někdy označujeme jako $k$:

$k=-{\frac {a}{b}}$

Směrnicový tvar rovnice přímky, procházející počátkem

Pomocí směrnice můžeme vyjádřit přímku, procházející počátkem, jako graf přímé úměrnosti, kde $k$ je konstanta úměrnosti. Takovému vyjádření říkáme směrnicový tvar rovnice přímky:

$y=k\cdot x$

V polárních souřadnicích vidíme, že směrnice je sinem úhlu $\alpha$, který svírá přímka s osou x:

$k={\frac {-a}{b}}=\sin(\alpha )$

Takže ten úhel můžeme vypočítat jako $\arcsin(k)$:

$\alpha =\arcsin(k)=\arcsin({\frac {-a}{b}})$

Obecná rovnice přímky

$ax+by+c=0$

• line 2x + 3y - 6 = 0

Úsekový tvar rovnice přímky

Pokud bude $x=0$, pak pro $y$ bude platit:

$by+c=0$

neboli:

$y={\frac {-c}{b}}$

Označíme si $q$ jako úsek na ose y, který vyjadřuje, v jakém místě naše přímka tuto osu protíná:

$q={\frac {-c}{b}}$

A podobně, pokud bude $y=0$, pak pro $x$ bude platit:

$ax+c=0$

neboli:

$x={\frac {-c}{a}}$

Označíme si $p$ jako úsek na ose x, který vyjadřuje, v jakém místě naše přímka protíná osu x:

$p={\frac {-c}{b}}$

Pomocí těchto úseků $p$, $q$ si můžeme rovnici přímky vyjádřit jako:

${\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}=0$

Samozřejmě, že tímto způsobem nelze vyjádřit přímku, procházející počátkem, a ani přímku, která by byla rovnoběžná s osou x anebo osou y, neboť taková přímka nám úseky $p$, $q$ nevytíná.

Směrnicový tvar rovnice přímky, která nemusí procházet počátkem

Nicméně znalost úseku $q$ můžeme využít ke směrnicovému vyjádření přímky, která nemusí procházet počátkem: zkrátka přímku, která by procházela počátkem, posuneme po ose y o vzdálenost $q$:

$y=k\cdot x+q$

• obecná rovnice
• parametrická rovnice
• směrnicový tvar
• normála

Vzájemná poloha bodu a přímky

• Pokud souřadnice bodu vyhovují rovnici přímky, pak bod leží na přímce.
• Pokud ne, tak bod na přímce neleží.
  • Chceme-li zjistit vzdálenost bodu od přímky, napíšeme si rovnici normály (kolmé na přímku) a procházející daným bodem. Vzdálenost mezi bodem a patou kolmice nám pak udá vzdálenost bodu od přímky.

Vzájemná poloha dvou přímek

Mějme dvě přímky:

$ax+by+c=0$

$dx+ey+f=0$

Chceme-li zjistit jejich vzájemnou polohu, řešíme prostě soustavj těchto dvou lineárních rovnic:

• Soustava má jedno řešení - jsou to souřadnice jejich průsečíku
• Soustava nemá řešení - jsou to rovnoběžky, které se neprotínají
• Soustava má nekonečný počet řešení - jedná se o identické přímky.

Související stránky

• Derivace
• Integrál
• Diferenciální rovnice
• Fyzikální systém a jeho modelování na příkladech z mechaniky

Odkazy

• w: Analytická geometrie
• Khan Academy: Analytická geometrie
• Aristoteles.cz: Matematika - obsah
• trial.kma.zcu.cz: 14. Analytická geometrie
• Wolfram MathWorld: Analytic Geometry
  • Wolfram Alpha
• MODAM – MODerní Aplikace Matematiky: Počítáme s Wolframem (MODAM 2016)